La Mecánica analítica

El oscilador armónico simple es un sistema hamiltoniano. Hemos visto que la ecuación de las trayectorias en el espacio de fase corresponde a la conservación de la energía mecánica:

En función del momento, las dos ecuaciones de la dinámica del sistema se pueden obtener de la energía mecánica, que derivan en función de las dos variables dinámicas:

Un sistema mecánico en el que todas las fuerzas son conservadores, es un sistema hamiltoniano, con la energía mecánica es igual a la energía cinética más la energía potencial total para cada coordenada, por ejemplo x, existe actualmente un miembro,  Y dos ecuaciones de movimiento:

Función de Hamilton

En general, cualquier orden segundo sistema se denomina un sistema hamiltoniano si existe una función de Hamilton  que permite encontrar las ecuaciones dinámicas:

La condición necesaria y suficiente para un sistema de Hamiltoniano es decir, es que las funciones f y g verificar la condición:

Demostrar que el sistema es hamiltoniano, y encontrar la función de Hamilton.

Resolución:

(% I1) Ir a (x, x);

(O1%) 1

(I 2%), esta (sin (x)-y, y);

(% De O2) 1

La solución de la primera ecuación es:

(% I3) integrar (x, y); (O3%) xy pero este resultado puede añadir a cualquier función h arbitrario que depende únicamente de x:

La solución de la segunda ecuación es:

(% I4) integrar (y – sin (x), x) (% o4) + cos xy (x)

Las más primitivas en general incluye una función w arbitrario, que depende de y:

Comparar las dos soluciones, concluimos que

Trayectorias en el espacio de fase; Las trayectorias de un sistema hamiltoniano en el espacio de fase, son la familia de curvas con diferentes valores de la constante.

Puntos fijos

La matriz jacobiana de un sistema hamiltoniano de segundo orden se calcula fácilmente:

Si la función de Hamilton es continua, la traza de esta matriz es siempre cero. En consecuencia, un sistema hamiltoniano sólo puede tener puntos de silla y centros. O no podemos tener los bolsillos, ya que estos puntos, la traza de la matriz Jacobiana es distinto de cero.

Uno de los valores propios de la matriz Jacobiana es siempre igual a sí, con signo contrario. Los puntos donde los valores propios son reales, son puntos de silla, y los puntos donde los valores propios son imaginarios son centros.

Encontrar los puntos fijos, determinar la estabilidad y dibujar el retrato fase del sistema con función de Hamilton. Resolución: Maxima se puede encontrar en las ecuaciones de evolución y la matriz jacobiana de la función de Hamilton

(I5%) h: (y ^ 2-x ^ 2) / 2 x ^ 3 / 3 dólares

(% I6) f: [esta (h, y) esta (h, x)];

(O6%) [y, x + x]

(% I7) v: [x, y] $

(I8%) [n, m j]: = diff (f [n], [m] v) $

(I9%) jacobiano: genmatrix (j, 2,2);

(O9%)

[X + 1 2 0]

(I10%) Fijo: resolver (f);

(% O10) [[x = 0, y = 0], [x = – 1, y = 0]]

(I11%) Jacobi, fija [1];

(O11%) []

(I12%) vectores propios (%);

(O12%) [[[- 1, 1], [1, 1]], [1 – 1], [1, 1]]

(I13%) Jacobi, fijo [2];

(O13%) []

(I14%) vectores propios (%);

(O14%) [[[-% i,% i] [1, 1]], [1, -% i] [1,% i]]

Hay dos puntos fijos, el origen, que es un punto de silla y el punto (-1, 0), que es un centro. Para dibujar el mapa de fases, utilice los comandos:

(I15%) de carga («plotdf») $

(I16%) plotdf (f, [xradius, 3], [yradius, 3]);