Doble péndulo
La L lagrangiano de un sistema mecánico está dado por la relación:
L = T – U # # A.1. Dónde:
T: energía cinética.
U: energía potencial.
La formulación de Lagrange utiliza el concepto de coordenadas generalizadas, es decir, q un vector de posición (en general, convenientemente escogidos para facilitar el análisis) y su derivada con respecto al tiempo (Velocidad representados en la notación habitual en lugar de dq / dt).
Y la ecuación de movimiento se da de una manera genérica: d (∂ L / ∂ ) / Dt = L ∂ / ∂ q # # B.1.
Naturalmente, esta ecuación se puede demostrar, pero esto no se hace porque la finalidad es sólo un enfoque a corto. Si q es igual a un vector de posición en coordenadas cartesianas, el desarrollo de los cables dará lugar a la segunda ley de Newton.
Ejemplo 01: Péndulo
La formulación de Lagrange para el movimiento es general, pero, de acuerdo con los propósitos de este artículo, se analiza un caso particular del péndulo simple plano.
En un estudio clásico con las leyes de Newton, no hay necesidad de un vector de posición con dos coordenadas r r r x y. Sin embargo, el ángulo θ que la varilla del péndulo con la vertical define perfectamente la posición de la misma, ya que la longitud ℓ se supone constante.
Y por lo tanto θ (Velocidad angular) son las coordenadas generalizadas para este caso, lo que equivale AQE el tema anterior.
La energía cinética está dada por:
T = (1 / 2) m (ℓ ) 2 # # A.1.
La energía potencial es
U = – mg cos θ ℓ # # B.1.
A continuación, el lagrangiano del péndulo viene dado por L = (1 / 2) m (ℓ ) + Mg cos 2 θ ℓ # # C.1.
Por lo tanto,
∂ L / ∂ M = 2 ℓ .
L ∂ / ∂ θ = – mg sen θ ℓ.
B.1 # # Uso de la sección anterior, d (m 2 ℓ ) / Dt = – mg sen θ ℓ. Por lo tanto, m 2 ℓ = – Mg sen θ ℓ. Simplificando y reordenando, se llega a la ecuación final del movimiento del péndulo simple:
+ (G / ℓ) sen θ = 0 # # D.1.
Ejemplo 02: Péndulo
El pivote P de un péndulo simple se encuentra en un bloque de masa despreciable que puede deslizarse sin fricción bajo la acción de un resorte ideal de constante k.
El grado de libertad de expresión puede ser definida como el número de variables independientes necesarias para especificar la posición (sin movimiento) a todas las partes del sistema. En el ejemplo anterior sólo hay un grado de libertad, en los que hay dos: la coordenada x del punto P y θ el ángulo de la barra del péndulo de la vertical.
Las coordenadas x ‘de masa m está dada por x’ θ = sen x + ℓ. Y su coordenada vertical y = – ℓ θ cos.
Las velocidades de la masa m son v x = + ℓ cos θ. v y = ℓ θ pecado.
La energía cinética del péndulo es T = (1 / 2) m (v x + v 2 y 2) = (1 / 2) m ( 2 + 2 ℓ 2 + 2 cos ℓ θ ).
La energía potencial viene dada por U = (1 / 2) kx 2 – mg cos θ ℓ.
La primera parte se refiere a la energía potencial de la primavera y la segunda parte es la energía potencial de masa m en el ejemplo anterior.
La función de Lagrange se calcula por:
L (x, θ, , ) = T – U = (1 / 2) m ( 2 + 2 ℓ 2 + 2 cos ℓ θ ) – (1 / 2) 2 + kx mg cos θ ℓ.
Observe que en este caso, se trata de una función de cuatro coordenadas (x, θ) En lugar de dos (θ, ) A partir del ejemplo anterior.
Fig. 01
Para x L ∂ / ∂ M = ( + ℓ cos θ ).
d (L ∂ / ∂ ) Dt = m M + ℓ ( cos θ – 2 sen θ).
L ∂ / ∂ x = – k x.
Para θ, L ∂ / ∂ M = ℓ (ℓ + cos θ).
d (L ∂ / ∂ ) Dt = m 2 ℓ M + ℓ ( cos θ – pecado θ).
∂ L / ∂ θ = – m ℓ pecado θ – mg sen θ ℓ.
