Entendemos por oscilador lineal el sistema en que una partícula se desplaza de su posición en una sola coordenada. Véase por ejemplo un muelle, un péndulo, etc…

Para estudiarlos desarrollamos un potencial cualquiera V en una serie de Taylor:

Moviendo l origen de potenciales hacemos cero el primer término y el segundo se hace cero por definición ya que es una posición de equilibrio. De esa manera obtenemos que y sabiendo que obtenemos la ley de Hook:

Ahora según el número de fuerzas que actúan sobre nuestra partícula podremos distinguir distintos tipos de osciladores:

-oscilador armónico simple:

Fuerzas: F=-kx

Por la segunda ley de Newton obtenemos la ecuación de movimiento:

haciendo obtenemos .
La solución de esta ecuación se puede escribir como:

Se trate de un sistema conservativo, por lo tanto T+V=cnte donde y

-oscilador amortiguado

Fuerzas: F=-kx y la fuerza de rozamiento F=-bv

Será la ecuación de movimiento por tanto y haciendo obtendremos que

Resolviendo debemos distinguir 3 casos:
• Inframortiguado:
Se define y la solución de la ecuación es

• Amortiguamiento crítico:

• Sobreamortiguado:
Se define y la solución de la ecuación es

En todos los casos la amplitud decae con el tiempo de forma exponencial.

-Oscilaciones forzadas

Fuerzas: F=-kx ; F=-bv ; Y la fuerza que aplicamos nosotros al oscilador que puede ser de cualquier tipo, por ejemplo F=fcoswt

La ecuación de movimiento será
La solución de esta ecuación no es tan trivial como las anteriores pero omitiré su resolución. Esta solución es:
La primera parte de la solución representa los efectos transitorios, ya que a medida que avanza el tiempo este término se hace nulo. El segundo término representa los efectos transitorios.

Para que se produzca resonancia en amplitud (amplitud máxima) la frecuencia ha de ser . Para que halla resonancia en energía cinética

-Focos y planos focales:

F y F´: Foco objeto y foco imagen respectivamente. El aumento angular es infinito en F´y cero en F.
Plano focal objeto: Perpendicular al eje y que pasa por F
Plano focal imagen: perpendicular al eje y que pasa por F´

El plano focal imagen es la imagen del plano del infinito y el plano del infinito es la imagen del plano focal objeto. F y F´ no son conjugados.
Todo haz que tenga su origen en un punto Q del plano focal objeto sale del sistema en forma de haz paralelo hacia infinito.
Todo haz paralelo que entre al sistema, sale del sistema concurriendo hacia un punto Q´ del plano focal imagen.
Si en el plano focal ubicamos una fuente puntual de luz, el sistema transforma los haces de rayos divergentes de la fuente en haces paralelos al eje.

Planos y puntos principales:

Planos principales: son dos planos conjugados (uno imagen del otro), normales al eje con aumento lateral B= +1.
Puntos principales: son los puntos de intersección de los planos principales con el eje óptico.
Todo haz de rayos que incida en el sistema partiendo de un punto P del plano principal objeto, emerge pasando por el punto conjugado P´ del plano principal imagen, que está a la misma distancia del eje al mismo lado que P.

-Focal y potencia de un sistema
Distancia focal imagen: f ´ =H´F´
Distancia focal objeto: f =HF

-Potencia
La potencia es la recíproca de la focal reducida (distancia focal dividida por el índice de refracción del medio correspondiente).

Potencia objeto: P=n/f
Potencia imagen: P´=n´/f´
Si la focal se expresa en m, la potencia se expresa en dioptrías (dp).
Cuando el sistema está sumergido en aire la potencia es la recíproca de la focal.

-Puntos nodales: son dos puntos conjugados en el eje, N y N´ para los cuales el aumento angular vale 1. Si n=n` los puntos nodales coinciden con los puntos principales. En una lente delgada coinciden entre sí y el que pasa por el centro óptico no se desvía.

Tomando como origen los planos principales los sistemas se clasifican en:

-Sistemas convergentes: los rayos que inciden paralelos aleje óptico, convergen en el foco imagen. En estos sistemas el foco imagen es real y la distancia focal imagen positiva. El foco objeto es real y la distancia focal objeto negativa.
-Sistemas divergentes: los rayos que inciden paralelos al eje óptico, divergen, convergiendo sus prolongaciones en sentido contrario a la propagación de la luz en el foco imagen. En estos sistemas el foco imagen es virtual y la distancia focal imagen negativa. El foco objeto es virtual u la distancia focal objeto positiva.
-Sistema compuesto: formado por sistemas en cascada, de los cuales se conocen los focos y puntos principales.

Entendemos por sistema óptico un conjunto de superficies que separan medios de distintos índices. Podemos distinguir:
-Sistemas ópticos de revolución: Si las superficies tienen simetría de revolución respecto a un mismo eje.
-S.O centrado: si los centros de las superficies están alineados. Son los mñas usados en óptica.

-dióptrico: formado sólo por superficies refractantes.
-catóptico: formado sólo por espejos.
-Catadióptico: si está formado por ambos.

A continuación veremos una serie de conceptos básicos en la representaciones:

O: punto objeto
O´: punto imagen

Objeto real: los rayos salen realmente de O
Imagen real: si los rayos se cortan realmente en O´, pudiéndolos observar, por ejemplo, sobre una pantalla.
Imagen virtual: se cortan las prolongaciones de los rayos en sentido contrario a la propagación de la luz. No se observan sobre una pantalla.
Objeto virtual: Por ejemplo si O´ fuese objeto para un segundo sistema.
Espacio objeto: Todo el espacio geométrico donde puede haber objetos (reales o virtuales).
Espacio imagen: Todo el espacio geométrico donde puede haber imágenes (reales o virtuales).

Todo el espacio a la vez es espacio objeto e imagen. Sin embargo, suele entenderse por espacio objeto la parte de la izquierda de un sistema y espacio imagen la parte derecha suponiendo que la luz va de izquierda a derecha,
Los objetos, al igual que las imágenes, pueden ser puntuales y extensos. La imagen de un objeto extenso está formada por las imágenes puntuales de todos los puntos del objeto.
Objeto e imagen son conjugados respecto del sistema, esto es, el sistema representa al objeto en su imagen.
Las relaciones geométricas entre objeto e imagen constituyen la teoría de la representación óptica.
Lo ideal será que un sistema óptico represente el espacio objeto en el correspondiente espacio imagen estableciendo una semejanza para dos figuras conjugadas cualesquiera (sistema óptico perfecto).
En un sistema óptico perfecto, para un par de puntos O y O´, todos los rayos que emergen (real o virtualmente) de O pasan (real o virtualmente) por O` después de atravesar el sistema, ésto es, O y O´ son puntos conjugados y el sistema es estigmático.
En un sistema que relaciona estigmáticamente O y O´, el camino óptico entre O y O` es el mismo para todos los rayos que unen dichos puntos.
En el estudio de los sistemas ópticos perfectos se representan los objetos y las imágenes en un plano meridiano, por flechas normales al eje.
La esfera es la superficie de mayor interés en óptica debido a su simetría y gracias a ella vamos a establecer el convenio de notación de signo utilizado en óptica geométrica:
-los elementos que hacen referencia a la imagen se indican con las mismas letras que los homólogos del objeto pero con primas.
-Para las distancias a lo largo del eje o de cualquier rayo, se toma como sentido positivo el de la luz incidente, que es siempre de izquierda a derecha.
-El radio de curvatura es positivo si el centro de la superficie está a la derecha del vértice y negativo si está ala izquierda.
-Los segmentos normales al eje son positivos hacia arriba y negativos hacia abajo.
-Los ángulos de incidencia y refracción de un rayo son positivos si al llevar el rayo, por giro, a coincidir con la normal a la superficie por el camino angular más corto, se va en el sentido de las agujas del reloj.
-Los ángulos con el eje son positivos si al llevar el rayo que los forma a coincidir por giro con el eje, se va en sentido contrario a las agujas del reloj.

-Principio de Fermat
“La trayectoria real (rayo) que sigue la luz para viajar desde el punto A hasta el punto B es aquella para la cual el camino óptico L entre ambos puntos es estacionario, es decir ”
El camino óptico entre 2 puntos a lo largo de un rayo puede ser, por tanto, máximo, mínimo o mantenerse constante con respecto a trayectorias próximas a él.
Podemos ver la similitud entre el Principio de Fermat y el Principio de Hamilton de la mecánica clásica.
A partir del principio de Fermat, puede definirse un rayo luminoso como aquella curva que hace estacionario el camino óptico entre dos puntos. Asimismo, el Principio de Fermat, trae otra consecuencia fundamental: la reversibilidad de los rayos de luz.
Si la luz puede viajar a lo largo de un rayo desde el punto A hasta el punto B también podrá hacerlo siguiendo la misma trayectoria pero en sentido contrario, desde B hasta A. En otras palabras, la condición estacionaria es independiente del sentido de recorrido a lo largo del rayo que une los dos puntos.
Si resolvemos la ecuación de trayectoria de rayos (Principio de Fermat) obtenemos que en un medio homogéneo los rayos luminosos tienen la forma de líneas rectas, es decir describen trayectorias rectilíneas.

-Leyes de la óptica geométrica

1) Ley de la reflexión

Podemos obtener esta ley a partir del principio de Fermat, cosa que aquí no demostraré.

2) Ley de la refracción

El valor límite o crítico del ángulo de incidencia para obtener rayo refractado será
Superficies de onda y teorema de Malus-Dupin

“Si tenemos una fuente puntual, en un medio cuyos rayos salen en todas las direcciones y sobre estos rayos se toman caminos ópticos iguales desde la fuente, los puntos extremos de tales recorridos se encuentran sobre una superficie perpendicular a estos rayos” Esta superficie se llama superficie de onda (también conocida como frente de onda geométrico). Éste es el enunciado del Teorema de Malus-Dupin.
El camino de óptico entre frentes de onda geométricos, calculado a lo largo de cualquier rayo que conecte ambos frentes, es el mismo.
Se puede generalizar al frente de onda geométrico que ha sufrido un número cualquiera de refracciones y/o reflexiones por superficies.
Los rayos luminosos son trayectorias ortogonales a los frente de onda para los cuales L=cnte.

Rayo de luz
Las trayectorias de la energía radiante en su propagación constituyen los rayos de luz.
Si un punto de emisor O, lo ponemos delante de una pantalla con un orificio, el punto y el orificio definen un cono lleno de luz que recibe el nombre de haz. Si las dimensiones del orificio son pequeñas, el cono se llama pincel. Si hacemos que el diámetro del orificio tienda a cero, llegamos a una abstracción del haz sin realidad física; esta abstracción ideal constituye el rayo de luz.

Índice de refracción
La luz se propaga en el vacío con una velocidad constante c=299792,5 km/s
En un medio material la velocidad de la luz disminuye y su valor depende de la constitución del medio.
Desde el punto de vista óptico podemos caracterizar a los medios materiales por un escalar n que es el índice de refracción.

Como
La dependencia de n provoca un fenómeno conocido como “dispersión cromática”. El único medio no dispersivo es el vacío n=1.

Clasificación de los medios materiales
Atendiendo al índice de refracción:

• Homogéneos e isótropos: el índice de refracción es cnte en todos los puntos y en todas las direcciones. Por ejemplo vidrios ópticos.
• Anisótropos: el índice de refracción varía punto a punto. Por ejemplo la atmósfera.
• Inhomogéneos y anisótropos: el índice de refracción varía punto a punto y con la dirección.
Camino óptico. Principio de Fermat
Si en un medio homogéneo e isótropo (n=cnte) la luz recorre un trayecto de longitud d, el camino óptico L, conocido también como función eikonal, se define como L=nd
“Camino óptico es el camino geométrico que recorre la luz en el medio multiplicado por el índice de refracción”
Representa también la distancia que recorrería la luz en el vacío en el tiempo que invierte en recorrer el camino geométrico d
Si el trayecto es a través de diferentes medios de índices, recorriendo en ellos distintas longitudes, el camino óptico es aditivo y vendrá dado por
Para el caso general, dada una curva C que representa la trayectoria de un rayo de luz, se denomina camino óptico entre dos puntos A y B de dicha curva a la integral . Si el medio es homogéneo e isótropo L=nd siendo d la distancia entre los puntos A y B.

La óptica geométrica se puede construir tomando como axiomas la propagación rectilínea de la luz en medios homogéneos e isótropos y las leyes de Descartes (leyes de reflexión, refracción y conservación del plano de incidencia mas la no interacción de los rayos luminosos). Pero es más efectivo partir de un único postulado de un principio variacional(principio de Fermat) del cual se obtienen como teoremas las leyes anteriores. Así pues llegamos al principio de Fermat, el cuál veremos en el próximo post.