Entendemos por sistema óptico un conjunto de superficies que separan medios de distintos índices. Podemos distinguir:
-Sistemas ópticos de revolución: Si las superficies tienen simetría de revolución respecto a un mismo eje.
-S.O centrado: si los centros de las superficies están alineados. Son los mñas usados en óptica.

-dióptrico: formado sólo por superficies refractantes.
-catóptico: formado sólo por espejos.
-Catadióptico: si está formado por ambos.

A continuación veremos una serie de conceptos básicos en la representaciones:

O: punto objeto
O´: punto imagen

Objeto real: los rayos salen realmente de O
Imagen real: si los rayos se cortan realmente en O´, pudiéndolos observar, por ejemplo, sobre una pantalla.
Imagen virtual: se cortan las prolongaciones de los rayos en sentido contrario a la propagación de la luz. No se observan sobre una pantalla.
Objeto virtual: Por ejemplo si O´ fuese objeto para un segundo sistema.
Espacio objeto: Todo el espacio geométrico donde puede haber objetos (reales o virtuales).
Espacio imagen: Todo el espacio geométrico donde puede haber imágenes (reales o virtuales).

Todo el espacio a la vez es espacio objeto e imagen. Sin embargo, suele entenderse por espacio objeto la parte de la izquierda de un sistema y espacio imagen la parte derecha suponiendo que la luz va de izquierda a derecha,
Los objetos, al igual que las imágenes, pueden ser puntuales y extensos. La imagen de un objeto extenso está formada por las imágenes puntuales de todos los puntos del objeto.
Objeto e imagen son conjugados respecto del sistema, esto es, el sistema representa al objeto en su imagen.
Las relaciones geométricas entre objeto e imagen constituyen la teoría de la representación óptica.
Lo ideal será que un sistema óptico represente el espacio objeto en el correspondiente espacio imagen estableciendo una semejanza para dos figuras conjugadas cualesquiera (sistema óptico perfecto).
En un sistema óptico perfecto, para un par de puntos O y O´, todos los rayos que emergen (real o virtualmente) de O pasan (real o virtualmente) por O` después de atravesar el sistema, ésto es, O y O´ son puntos conjugados y el sistema es estigmático.
En un sistema que relaciona estigmáticamente O y O´, el camino óptico entre O y O` es el mismo para todos los rayos que unen dichos puntos.
En el estudio de los sistemas ópticos perfectos se representan los objetos y las imágenes en un plano meridiano, por flechas normales al eje.
La esfera es la superficie de mayor interés en óptica debido a su simetría y gracias a ella vamos a establecer el convenio de notación de signo utilizado en óptica geométrica:
-los elementos que hacen referencia a la imagen se indican con las mismas letras que los homólogos del objeto pero con primas.
-Para las distancias a lo largo del eje o de cualquier rayo, se toma como sentido positivo el de la luz incidente, que es siempre de izquierda a derecha.
-El radio de curvatura es positivo si el centro de la superficie está a la derecha del vértice y negativo si está ala izquierda.
-Los segmentos normales al eje son positivos hacia arriba y negativos hacia abajo.
-Los ángulos de incidencia y refracción de un rayo son positivos si al llevar el rayo, por giro, a coincidir con la normal a la superficie por el camino angular más corto, se va en el sentido de las agujas del reloj.
-Los ángulos con el eje son positivos si al llevar el rayo que los forma a coincidir por giro con el eje, se va en sentido contrario a las agujas del reloj.

-Principio de Fermat
“La trayectoria real (rayo) que sigue la luz para viajar desde el punto A hasta el punto B es aquella para la cual el camino óptico L entre ambos puntos es estacionario, es decir ”
El camino óptico entre 2 puntos a lo largo de un rayo puede ser, por tanto, máximo, mínimo o mantenerse constante con respecto a trayectorias próximas a él.
Podemos ver la similitud entre el Principio de Fermat y el Principio de Hamilton de la mecánica clásica.
A partir del principio de Fermat, puede definirse un rayo luminoso como aquella curva que hace estacionario el camino óptico entre dos puntos. Asimismo, el Principio de Fermat, trae otra consecuencia fundamental: la reversibilidad de los rayos de luz.
Si la luz puede viajar a lo largo de un rayo desde el punto A hasta el punto B también podrá hacerlo siguiendo la misma trayectoria pero en sentido contrario, desde B hasta A. En otras palabras, la condición estacionaria es independiente del sentido de recorrido a lo largo del rayo que une los dos puntos.
Si resolvemos la ecuación de trayectoria de rayos (Principio de Fermat) obtenemos que en un medio homogéneo los rayos luminosos tienen la forma de líneas rectas, es decir describen trayectorias rectilíneas.

-Leyes de la óptica geométrica

1) Ley de la reflexión

Podemos obtener esta ley a partir del principio de Fermat, cosa que aquí no demostraré.

2) Ley de la refracción

El valor límite o crítico del ángulo de incidencia para obtener rayo refractado será
Superficies de onda y teorema de Malus-Dupin

“Si tenemos una fuente puntual, en un medio cuyos rayos salen en todas las direcciones y sobre estos rayos se toman caminos ópticos iguales desde la fuente, los puntos extremos de tales recorridos se encuentran sobre una superficie perpendicular a estos rayos” Esta superficie se llama superficie de onda (también conocida como frente de onda geométrico). Éste es el enunciado del Teorema de Malus-Dupin.
El camino de óptico entre frentes de onda geométricos, calculado a lo largo de cualquier rayo que conecte ambos frentes, es el mismo.
Se puede generalizar al frente de onda geométrico que ha sufrido un número cualquiera de refracciones y/o reflexiones por superficies.
Los rayos luminosos son trayectorias ortogonales a los frente de onda para los cuales L=cnte.

Rayo de luz
Las trayectorias de la energía radiante en su propagación constituyen los rayos de luz.
Si un punto de emisor O, lo ponemos delante de una pantalla con un orificio, el punto y el orificio definen un cono lleno de luz que recibe el nombre de haz. Si las dimensiones del orificio son pequeñas, el cono se llama pincel. Si hacemos que el diámetro del orificio tienda a cero, llegamos a una abstracción del haz sin realidad física; esta abstracción ideal constituye el rayo de luz.

Índice de refracción
La luz se propaga en el vacío con una velocidad constante c=299792,5 km/s
En un medio material la velocidad de la luz disminuye y su valor depende de la constitución del medio.
Desde el punto de vista óptico podemos caracterizar a los medios materiales por un escalar n que es el índice de refracción.

Como
La dependencia de n provoca un fenómeno conocido como “dispersión cromática”. El único medio no dispersivo es el vacío n=1.

Clasificación de los medios materiales
Atendiendo al índice de refracción:

• Homogéneos e isótropos: el índice de refracción es cnte en todos los puntos y en todas las direcciones. Por ejemplo vidrios ópticos.
• Anisótropos: el índice de refracción varía punto a punto. Por ejemplo la atmósfera.
• Inhomogéneos y anisótropos: el índice de refracción varía punto a punto y con la dirección.
Camino óptico. Principio de Fermat
Si en un medio homogéneo e isótropo (n=cnte) la luz recorre un trayecto de longitud d, el camino óptico L, conocido también como función eikonal, se define como L=nd
“Camino óptico es el camino geométrico que recorre la luz en el medio multiplicado por el índice de refracción”
Representa también la distancia que recorrería la luz en el vacío en el tiempo que invierte en recorrer el camino geométrico d
Si el trayecto es a través de diferentes medios de índices, recorriendo en ellos distintas longitudes, el camino óptico es aditivo y vendrá dado por
Para el caso general, dada una curva C que representa la trayectoria de un rayo de luz, se denomina camino óptico entre dos puntos A y B de dicha curva a la integral . Si el medio es homogéneo e isótropo L=nd siendo d la distancia entre los puntos A y B.

La óptica geométrica se puede construir tomando como axiomas la propagación rectilínea de la luz en medios homogéneos e isótropos y las leyes de Descartes (leyes de reflexión, refracción y conservación del plano de incidencia mas la no interacción de los rayos luminosos). Pero es más efectivo partir de un único postulado de un principio variacional(principio de Fermat) del cual se obtienen como teoremas las leyes anteriores. Así pues llegamos al principio de Fermat, el cuál veremos en el próximo post.

Wallace Clement Sabine desarrolló alrededor de 1890 una teoría sobre el decaimiento del sonido y comprobó que el tiempo de reverberación podría ser útil para evaluar la calidad acústica de la sala. Sabine se basó para desarrollar su teoría en dos condiciones:

a) el campo dentro del recinto es difuso (su intensidad no decae en ningún punto).
b) las partículas sonoras son incoherentes, con lo que se pueden sumar energías.

Durante un proceso de aumento y decaimiento sonoro en un recinto podemos distinguir tres fases:

- El primero es un régimen transitorio en el que la densidad de energía (energía por unidad de volumen) aumenta. Existirá un balance energético entre la energía que se gana y que se pierde durante el proceso.
- El segundo es un régimen estacionario en el que ambas densidades de energía se compensan.
- El tercero corresponde al período en el que la fuente sonora ha dejado de emitir.

La fórmula que se obtiene es: siendo alfa los coeficientes de absorción de Sabine, los cuales dependen del material y están tabulados; S las distintas superficies y V el volumen total de la sala.

Aparte de la fórmula del tiempo de reverberación de Sabine existen otras fórmulas como las de Eyring y la de Millington. Los principios en los que se basan son ligeramente diferentes, y proporcionan diferentes valores del tiempo de reverberación. Eyring y Millington suponen que el descenso de energía acústica cuando cesa la fuente se produce a saltos, mientras que para Sabine es lineal. Además Eyring supone que cada reflexión sobre una pared se reparte siempre sobre el resto de las superficies casi simultáneamente, mientras que Millington supone que lo hace secuencialmente.

La fórmula de Sabine:

La fórmula de Eyring:

La fórmula de Millington:

Las tres fórmulas suponen que el tiempo de reverberación:

- No varía dentro de la sala
- No depende de la posición de la fuente
- No depende de la forma ni de la geometría de la sala
- No depende de la situación de los diferentes materiales en la sala

Entre los diversos inconvenientes de cada fórmula, podemos citar:

- La fórmula de Sabine no da nunca un tiempo de absorción nulo, incluso aunque los cerramientos tuvieran una absorción perfecta. En salas absorbentes se obtienen tiempos de reverberación superiores a los reales.
- Las fórmulas de Sabine y Eyring permiten obtener valores de coeficientes de absorción superiores a la unidad, lo cual es absurdo.
- Si entre los materiales hay alguno que tenga un coeficiente de absorción unidad, la fórmula de Millington siempre da un tiempo de reverberación nulo.

La fórmula de Sabine produce buenos resultados para materiales de baja absorción, mientras que a medida que los materiales son más difusores y están distribuidos más uniformemente, las fórmulas de Eyring o Millington proporcionan mejores resultados bastante similares entre sí. Por otra parte no hay que olvidar que a medida que las absorciones aumentan, nos alejamos más de las condiciones de campo difuso, con lo que el concepto de tiempo de reverberación va perdiendo un poco de sentido. En general, hoy en día el tiempo de reverberación se puede calcular o medir directamente. En este último caso se suelen dar los tiempos de reverberación para diversas bandas de octava, ya que la absorción, como ya sabemos, depende de la frecuencia.

Para recintos que tienen un fin musical es conveniente tener un tiempo de reverberación de entre 0,5-2 y para recintos cuyo fin es dar clases, conferencias sobre 0,5-1.

En una sala en la que una fuente sonora emite un sonido se pueden producir fenómenos de resonancia que estarán relacionados con la naturaleza de la sala, su geometría, dimensiones y materiales, así como con las características del sonido en cuestión (fundamentalmente su intensidad y su frecuencia). Al igual que en un diapasón, todo objeto, incluido una sala, posee una serie de frecuencias o modos propios de vibración que son característicos del mismo. Por ejemplo si golpeamos una tubería metálica esta sonará con un sonido de frecuencia característica, que dependerá de las dimensiones y materiales de la tubería.
Las frecuencias propias de resonancia de un local vendrán dadas por:
donde las distintas frecuencias se obtienen dándole valores enteros a las n.
La presión acústica de las correspondientes ondas estacionarias es: donde .
En los puntos en que los cosenos son cero, se producirán presiones acústicas nulas. Estos puntos producirán tres conjuntos de planos equidistantes, que se llaman planos nodales, que son ortogonales entre sí.

Los modos naturales de vibración de una sala se pueden clasificar como:

-Modos axiales: se produce cuando dos de los argumentos de los cosenos es 0.
-Modos tangenciales: se produce cuando uno de los argumentos de los cosenos es 0
-Modos oblicuos: se produce cuando ninguno de los argumentos de los cosenos es 0

A bajas frecuencias se forman menos ondas estacionarias, pues a altas frecuencias existen múltiples modos de resonancia. También aumenta el número de frecuencias de resonancia con el volumen de la sala. Existe una expresión experimental que nos da la frecuencia (frecuencia de corte) a partir de la cual se puede considerar que la influencia de los modos propios se debilita: donde v es la velocidad del sonido en el aire, V el volumen de la sala y t es el tiempo de reverberación de la misma (concepto que explicaré más adelante).
Si el sonido dentro de la sala contiene frecuencias superiores a f, se excitará un número alto de modos propios y el resultado total será un campo casi difuso (veremos más adelante lo que significa este término). Para frecuencias inferiores a f, los fenómenos de resonancia pueden afectar gravemente a las condiciones acústicas de la sala creando máximos y mínimos de presión acústica y evitando una distribución uniforme del campo sonoro. Por lo tanto, los modos de resonancia pueden ocasionar problemas acústicos sobre todo en salas pequeñas a bajas frecuencias. Estos problemas se resuelven en parte adecuando las dimensiones de la sala y evitando una distribución de paredes muy regular y de grandes superficies paralelas.
Obviamente, las ondas estacionarias van perdiendo energía a partir de que la fuente deja de emitir sonido, y se irán amortiguando debido a la atenuación del aire y a la absorción de las paredes.