Todos conocemos las 3 famosas leyes de Newton (1642-1727): sobre ellas se basó la física mecánica durante mucho tiempo. Ésta manera de concebir la mecánica está regida principalmente por su carácter vectorial y la segunda ley de Newton: . Pero como todo método, también tiene sus inconvenientes. Resolver un problema mediante “Newton” puede llegar a ser extremadamente difícil en sistemas complejos, como por ejemplo péndulos suspendidos sobre cuerpos en movimiento, partículas sometidas a moverse sobre superficies cónicas, etc… Obviamente estos problemas también pueden ser resueltos por el método de Newton (no vamos a quitarle méritos), pero nos llevaría a integrales de extrema complejidad.
Aquí es donde aparece Joseph-Louis de Lagrange (1805-1865). Italiano de nacimiento pasó gran parte de su vida arraigado en Francia, considerándosele aún hoy en día por éstos, como compatriota suyo a pesar de lo que digan los demás. Todo lo que vamos a tratar está recogido en su obra Mecanique Anlitique.

Su formalismo se basa en las ligaduras, en la ausencia del carácter vectorial y en la simpleza en los cálculos. Pasamos ahora a un estudio más exhaustivo, pero directo, de su formalismo:

-Ligaduras: condición que se impone a un sistema limitando el movimiento de éste.
Ejemplos:
Partícula en una circunferencia:
Partículas en el plano: z=0

Habiendo definido las ligaduras llegamos al concepto de coordenadas independientes:

Las coordenadas independientes o generalizadas ( q_j ) son aquellas que su valor no depende de ninguna otra coordenada en el plano y desde las cuales describiremos el movimiento a estudiar. Ejemplo:
En un péndulo simple podemos tomar como coordenada generalizada el ángulo θ respecto a la horizontal.
De la misma manera que hablamos de coordenadas generalizadas podemos hablar de fuerzas generalizadas ( Q_j ) y velocidades ( ) o aceleraciones generalizadas ( ).
En cada caso podemos establecer el número de coordenadas independientes como:
nº coordenadas independientes = nº coordenadas- nº ligaduras

Ahora definiremos una función muy importante a lo largo de la física: la Lagrangiana.

L=T-V siendo T la energía cinética y V la energía potencial

Definida la Lagrangiana podemos ver como hallar las ecuaciones de movimiento de esta manera:

Cabe decir que ésta ecuación es sólo válida para sistemas conservativos (E=cnte=T+V), que aunque son minoría en la naturaleza son los más estudiados.
Vemos que la ventaja de este método estriba en la ausencia del carácter vectorial, y en la simpleza tanto matemática como formal de conseguir las ecuaciones que rigen el movimiento. La mayor dificultad será pues elegir las coordenadas con las que vamos a trabajar (cartesianas, cilíndricas, esféricas…) Los pasos a seguir serán:
• Elección coordenadas
• Elección coordenadas generalizadas
• Deducción de ligaduras
• Hallar la T ( ) y V para construir la L
• Derivar L para hallar las ecuaciones de movimiento
• Resolver las ecuaciones de movimiento (si se estima necesario)

En siguientes artículos podremos ver la ampliación de este método por Hamilton, o el principio de Hamilton, por el cuál se rigen todos los fenómenos en la naturaleza.

Pero la carga no se presenta siempre (es más, casi nunca es) puntual. Aunque su naturaleza es discreta, la mayoría de ocasiones la carga se presenta a modo de una distribución de muchos cuantos a lo largo de una línea, largo y ancho de una superficie o encerrada en un volumen. Las distribuciones continuas de carga son aproximaciones macroscópicas cuya validez tiene por límite aquel en el cual se deban tener en cuenta efectos cuánticos. Distinguimos los tres casos siguientes aunque en el futuro la distribución superficial y la lineal se extenderán a la volumétrica tomando ésta como caso genérico.

- Densidad volumétrica de carga:

La carga contenida en un volumen diferencial (suficientemente pequeño como para considerarlo nulo desde un punto de vista macroscópico, pero no tan pequeño como para tener que considerar efectos cuánticos) δV es: δQ=ρ(r)δV donde ρ(r) es la densidad volumétrica de carga. De esta definición deducimos que la carga encerrada en V es: Q= ∫∫∫ρ(r)δV. Teniendo esto en consideración, el campo puede reescribirse a:

- Densidad superficial de carga:

A veces se aproxima la carga a una concentrada en una superficie diferencial como por ejemplo en un buen conductor cargado o las hojas de carga suficientemente delgadas. Se define la densidad superficial como: σ(r)=limΔQ/Δs=δQ/δs, es decir que: δ Q=σ(r)δS. Y el campo será:

- Densidad lineal de carga:

Este es el caso del ejemplo de un hilo cargado donde la concentración de carga se encuentra en el hilo, es decir, lineal. Se define como: λ(r)=limΔQ/Δl=δQ/δl, es decir que: δQ=λ(r)δL. Y el campo será:

Se dice que existe un campo eléctrico en cualquier zona del espacio donde se experimente una fuerza eléctrica (F), y su valor viene dado por: E=F/q NC^-1. Podría, entonces, pensarse que para calcular el campo en un punto basta con colocar una carga y medir la fuerza a la que es sometida por el resto del sistema eléctrico; pero es importante recordar que esta misma cargar también altera al resto del sistema así que para que su influencia sea la menor posible, debemos hacer que esta carga sea mínima, es decir, que tienda a cero. Por lo tanto, reescribimos más correctamente: E= lim_q->0- F/q.
Siguiendo con nuestra intuición para calcular el campo deducimos que, a partir de la expresión de la fuerza dada en el artículo anterior, el campo vendrá dado por: E=q’(r-r’)/[4πε₀|r-r’|³] para una carga puntual.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:

Se ha comprobado experimentalmente que, si la fuerza ejercida por una carga sobre otra en el espacio viene dada por la fórmula mencionada en el artículo anterior, en caso de haber varias cargas y todas ellas influyéndose mutuamente, el resultado vendría dado por la suma de estos efectos. Es decir, que la fuerza total sobre la carga q es la suma vectorial de las fuerzas individuales de cada carga q₁, q₂, q₃, … q_n.
Es decir:

Y por lo tanto, ya que el campo es E=F/q, sería:

Esto se puede escribir como: E=ΣE_i(r).

El estudio de la electricidad y los efectos relacionados derivados de porciones de masa se remonta a la antigüedad, pero no es hasta el siglo XVIII cuando se estudia en profundidad gracias a Benjamin Franklin y Cavendish, que fueron los primeros en postular una ley para la fuerza eléctrica muy parecida a la de Newton con la fuerza gravitatoria. Sin embargo, la difusión de este pilar fundamental se le debe a Coulomb, nombre asignado posteriormente a la unidad de la carga.

CARGA ELÉCTRICA:

A través de experimentos se declararon las siguientes propiedades para las cargas eléctricas:
- Conservación de la carga: En un sistema aislado, la carga total se conserva.
- Tipos de carga: positiva o negativa, es decir, de atracción o de repulsión. Las cargas iguales tienden a repelerse mientras que las cargas contrarias se atraen.
- Cuantización de la carga: La carga se cuantifica en proporción a la cantidad de carga elemental que es el electrón de un átomo. En el Sistema Internacional un electrón posee q_e=1,602·10^-19C.

FUERZA ELÉCTRICA:

En 1785 Coulomb publicó sus experimentos utilizando una balanza de torsión sobre la influencia de una carga que sobre otra carga puntual en lo que se denominó: Ley de Coulomb.
, donde u_r es el vector unitario en la dirección y sentido del vector r–r’ y k es una constante cuyo valor es: k=8,988·10⁹ Nm²C^-2. Aunque normalmente j se expresa en función de otra constante, la permitividad eléctrica del vacío, ε₀: k=1/4πε₀, ε₀=8,854·10^-12 Fm^-1.
Se ha calculado experimentalmente que esta ley se cumple para distancias de hasta 10^-13metros, a partir de las cuales es necesario tomar en consideración efectos cuánticos.

Teniendo en cuenta que: u_r= r-r’ / |r-r’|, la ley de Coulomb puede escribirse como:

Para trabajar con campos, como vimos en el artículo anterior, se necesitaban unos nuevos ejes de coordenadas que nos facilitarían la faena en los cálculos: el eje de coordenadas rectangular, el cilíndrico y el esférico. También vimos cómo pasar de uno a otro y ahora debemos definir los operadores gradiente, divergencia y rotacional para estas nuevas coordenadas.

Primero un par de deficiones:

Campo escalar: En una región del espacio existe un campo escalar si a cada punto le corresponde un valor de una función escalar. Un ejemplo es un campo de temperaturas donde cada punto adquiere un valor en grados centígrados.

Campo vectorial: En una región del espacio existe un campo vectorial si a cada punto le corresponde un vector de una función vectorial. Un ejemplo es el campo eléctrico donde en cada punto la carga eléctrica tiene además un sentido de movimiento y dirección.

GRADIENTE: (escalar –> vectorial)
En cartesianas (o rectangulares), la variación elemental de una función escalar f=f(x,y,z) en el punto P viene dada por su diferencial:
δf=(∂f/∂x)·δx+(∂f/∂y)·δy+(∂f/∂y)·δz y se puede escribir como: δf=[(∂f/∂x)i+(∂f/∂y)j+(∂f/∂y)k]·δr, donde δr es el vector desplazamiento elemental del punto P, y el vector ∇f=(∂f/∂x)i+(∂f/∂y)j+(∂f/∂y)k es el gradiente de la función f en el punto P.
Por lo tanto, el diferencial de la función se transforma en: δf=∇f·δr.

Si δr está sobre la superficie de nivel, la variación de la función es nula (en líneas isotermas por ejemplo). δf=∇f·δr=0, y como un producto escalar es cero cuando los vectores son perpendiculares se deduce que el gradiente de f es normal a la superficie. Además, lleva la dirección de la máxima variación de la función y en sentido creciente de la misma.

El gradiente en otros ejes conserva la definición pero podemos reescribir la fórmula de forma genérica así:
∇f=1/h₁(∂f/∂u₁)u₁+1/h₂(∂f/∂u₂)u₂+1/h₃(∂f/∂u₃)u₃, donde:
para rectangulares: h₁=x, h₂=y, h₃=z y u₁=x, u₂=y, u₃=z
para cilíndricas: h₁=1, h₂=ρ, h₃=1 y u₁=ρ, u₂=φ, u₃=z
para esféricas: h₁=1, h₂=r, h₃=rsenθ y u₁=r, u₂=θ, u₃=φ

DIVERGENCIA: (vectorial –> escalar)
Dado un campo vectorial en cartesianas (o rectangulares) F=F(x,y,z), se define como divergencia de este campo en un punto P a la expresión:
∇·F=lim 1/∂V·∫∫F·δS
donde ∂V es un elemento de volumen entorno al punto P y la integral de superficie del flujo (F·δS) se extiende por toda la superficie de dicho volumen.
El propósito de la divergencia es la cuantificación del flujo, expresa el flujo por unidad de volumen (∇F=δΦ/δV).
Si la divergencia es positiva, se considera una fuente, y si es negativa un sumidero. Si es nula se dice que el campo es solenoidal.
Una expresión más común para la divergencia, hallada a partir de la suma de los flujos en las diferentes direcciones que atraviesan un volumen es:
∇·F=(∂F_x/∂x)+(∂F_y/∂y)+(∂F_z/∂z)

Extendiendo esta fórmula para hacerla genérica a cualquier sistema de referencia obtenemos:
∇·F=1/(h₁h₂h₃)·(∂(h₂h₃F₁)/∂u₁)+1/(h₁h₂h₃)·(∂(h₁h₃F₂)/∂u₂)+1/(h₁h₂h₃)·(∂(h₁h₂F₃)/∂u₃), donde:
para rectangulares: h₁=x, h₂=y, h₃=z y u₁=x, u₂=y, u₃=z
para cilíndricas: h₁=1, h₂=ρ, h₃=1 y u₁=ρ, u₂=φ, u₃=z
para esféricas: h₁=1, h₂=r, h₃=rsenθ y u₁=r, u₂=θ, u₃=φ

ROTACIONAL: (vectorial –> vectorial)
En cartesianas definimos: ∇xF·δS=∫F·δr, (donde ∇xF es el rotacional) es decir, que el flujo de una función vectorial F a través de un elemento de superficie δS es igual a la circulación elemental del campo F a lo largo de la curva C que encierra dicho entorno. Operando por coordenadas obtenemos la ecuación para el rotacional:
∇xF=(∂F_z/∂y-∂F_y/∂z)i+(∂F_x/∂z – ∂F_z/∂x)j+(∂F_y/∂x – ∂F_x/∂y)k.

Si el rotacional es nulo (campo irrotacional), lo es cada una de sus componentes. Por lo tanto: (∂F_z/∂y-∂F_y/∂z)=0, (∂F_x/∂z – ∂F_z/∂x)=0 y (∂F_y/∂x – ∂F_x/∂y)=0 que son condiciones para la existencia de una función potencial, es decir, el campo será conservativo.

De forma genérica, nuevamente, escribiríamos la fórmula así:
∇xF=(1/h₂h₃)(∂h₃F₃/∂u₂-∂h₂F₂/∂u₃)u₁+(1/h₁h₃)(∂h₁F₁/∂u₃-∂F_z/∂u₁)u₂+(1/h₁h₂)(∂h₂F₂/∂₁-∂F₁/∂y)u₃, donde:
para rectangulares: h₁=x, h₂=y, h₃=z y u₁=x, u₂=y, u₃=z
para cilíndricas: h₁=1, h₂=ρ, h₃=1 y u₁=ρ, u₂=φ, u₃=z
para esféricas: h₁=1, h₂=r, h₃=rsenθ y u₁=r, u₂=θ, u₃=φ