Hablemos de los distintos momentos de rotación que encontramos en la dinámica de una partícula o de un sistema.
Escribiremos el producto escalar con un punto (·), y el producto vectorial con una cruz (x). Las magnitudes en negrita son vectoriales y las que no están en negrita son escalares.

Momento angular o cinético (L):
Se define el momento angular o cinético de una partícula como el producto vectorial del radiovector que fija la posición de la partícula en cada instante por el momento lineal que posee dicha partícula. Es decir, L = r x P. Como P viene definida por P=m x v, el momento angular podría decirse que es el momento del propio momento lineal y se escribe como: L=m·r x v.
Esto es lo mismo que: L=r·m·v·senα, siendo α el ángulo r (radio de la figura, del origen al extremo que dibuja la trayectoria) y v (velocidad, tangente a la trayectoria). Éstos son perpendiculares normalmente y sen90º=1, por lo tanto L toma la dirección perpendicular al plano definido por ambos (r y v).
En un sistema de partículas, L del centro de masas equivale a la suma vectorial de los momentos angulares de todas las partículas del sistema.

Teorema del momento angular:
La derivada respecto al tiempo del momento angular de un sistema que se mueve en relación a un punto material es igual al momento, respecto a dicho punto, de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema. Es decir: M_ext=δL/δt. Llegamos a esta conclusión pues:
δL/δt = [(δr/δt) x (mv)] + [r x (δmv/δt)] = [v x (mv) + (r x F)] = 0 + r x F = M.

Principio de conservación del momento angular:
“Si el momento, respecto a un punto, de las fuerzas exteriores (o la dirección de r y F coinciden) que actúan sobre un sistema es nulo (aislado), el momento angular respecto al mismo punto permanece constante”.
Es decir, que el momento angular de un sistema aislado es constante. Es sencillo verlo pues si no actúan fuerzas sobre él M será nulo, y para que M=δL/δt sea nulo, L debe ser constante.

Un ejemplo práctico para verlo es el caso del patinador.
Un patinador, como el de la foto de arriba, extiende los brazos al final de un giro. ¿Qué efecto produce? Pues sencillo. Sabiendo que el momento angular del sistema es constante, al aumentar el radio (r) de la figura (extendiendo los brazos), la velocidad debe disminuir con tal de que el producto final permanezca igual que como estaba. Así el patinador consigue acelerar su giro cerrando los brazos y frenar su velocidad al terminar el giro.

Momento de Inercia (I):
Supongamos un sólido rígido capaz de girar alrededor de un eje vertical z. Consideremos, asimismo, que en un punto cualquiera del sólido se aplica una fuerza F de dirección arbitraria que, lógicamente, puede descomponerse en dos. Una en la dirección del radio que une el eje con el punto y que es anulado por la resistencia del eje, y otra perpendicular a la primera que producirá un movimiento de rotación. Como hemos definido antes, L=m·r x v, y como sabemos de cinemática de rotación: v=ω·r. Por lo tanto, L=m·r²·ω. Pues al producto de masa por la distancia del eje al cuadrado (r²) se le llama momento de inercia I. Así pues se puede expresar el momento angular como: L=I·ω.

El terorema de conservación del momento de inercia en rotación propone que L=I·ω es constante en todo sistema aislado (como vimos en el momento angular).

Ecuación Fundamental de la Dinámica de Rotación:
M=I·α
Análoga a la Ecuación Fundamental de la Dinámica de Traslación (F=m·a tenemos ésta, donde M es el momento de una fuerza, I el momento de inercia y α la aceleración angular. Viene de derivar L=I·ω. (δL/δt)=[(δI/δt) · ω] + [I · (δω/δt)]. El primer término es cero ya que I es constante porque el sólido gira alrededor de un eje concreto, así que: (δL/δt)=I·α = M.

Hablemos de los distintos momentos de traslación que encontramos en la dinámica de una partícula o de un sistema.
Escribiremos el producto escalar con un punto (·), y el producto vectorial con una cruz (x). Las magnitudes en negrita son vectoriales y las que no están en negrita son escalares.

Momento de una fuerza (M):.
Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.
M=r x F
Por lo tanto el módulo de M es: M = F x r = F · rsenα = F · d siendo d la distancia del origen a la dirección de la fuerza y r el vector de posición de donde se aplica la fuerza. Normalmente, como es el caso típico de un tornillo o una palanca, la fuerza se aplica en el extremo de la herramienta así que el seno del ángulo entre la dirección de F y la dirección de r es 1 (porque α es cero y sen 0=1) y entonces r=d.

Momento lineal (P):
También llamado cantidad de movimiento. Su ecuación es: P = m x v. Como ya veíamos en la segunda ley de Newton, F = δP / δ t. Su dirección es tangente a la trayectoria del movimiento en cada punto y tiene el mismo sentido que la velocidad (v).
Se dice que un observador inercial es aquel para el que una partícula libre mantiene constante su cantidad de movimiento. Si la cantidad de movimiento es constante implica que su derivada es cero, por lo tanto la fuerza es cero. Así que reescribimos la frase anterior a: un observador inercial es aquel para el que no percibe que ninguna fuerza externa actúe sobre una partícula libre. De esto deducimos el:
Principio de conservación del momento lineal:
“Si sobre un sistema no actúa ninguna fuerza externa o la suma de las fuerzas vale 0, su momento lineal es constante”.
Es decir, que antes y después de un choque, por ejemplo, debe existir el mismo momento lineal. Por lo tanto la m x v _{(al inicio)} = m x v _{(al final)}. Por lo tanto, si en el choque, el objeto se rompe y se separa en piezas, el resultado “al final” es la suma de cada masa multiplicada vectorialmente por su vector velocidad (ya que cada trozo llevará una velocidad distinta).

En un sistema de partículas (donde hay más de una), la cantidad de movimiento del centro de masas coincide con la suma de las cantidades de movimiento de cada punto material. Y está comprobado que también se cumple el principio de conservación, pues, en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento total es constante ya que las fuerzas internas se anulan entre sí y no lo modifican.

Impulso (I):
Esto no es un momento, sino la diferencia de momentos. Se define como el producto de una fuerza aplicada a una masa durante un tiempo t. Es decir, la diferencia de momentos lineales pasado un tiempo. Si I=F·t y F=m·a –> I=m·a·t. Y a=(v-v₀)/t, por lo tanto I=m((v-v₀)/t)·t –> I=mv-mv₀=P-P₀.

Si A y B se encuentran ligados a puntos fijos internos o externos y se aplican una fuerza sobre el sólido rígido se producirá un movimiento de rotación.
Al aplicar una fuerza F a un punto sólido (siempre que no corte el eje de giro) producirá un efecto análogo al que origina otra fuerza igual y paralela a ella y de sentido opuesto –> se las denomina par.

En un punto del eje actúan simultáneamente dos fuerzas opuestas F y -F, de direcciones paralelas a la primera y de igual valor a ella. En el eje las fuerzas se anulan de forma que sólo quedan las originales que dan lugar a la rotación.

cinemática:
Recordemos las bases de la cinemática del movimiento circular (de trayectoria circular):

• - El arco recorrido (ángulo): s=φ·R, donde R es el radio del círculo descrito. Las unidades que expresan la medida del arco s vienen condicionadas por las que miden la longitud del radio R. Este ángulo define la posición instantánea de cualquier partícula contenida en el cuerpo rígido y se mide desde un plano perpendicular al eje de rotación




• - La velocidad angular: v=ω·R. δs/δt=(δφ/δt)·R. Se representa por un vector axial cuya dirección es perpendicular al plano de giro y su sentido sigue la regla del tornillo.




• - La aceleración angular (tangencial): a_t=α·R. δv/δt=(δω/δt)·R




• - La aceleración normal: a_n=v²/R = (ω·R)²/R = ω²·R. Si el movimiento fuese circular uniforme la a=0. Por lo tanto también lo sería la a_t. Sin embargo, habría aceleración normal, ya que ésta tan sólo depende de ω y R.




• - La fuerza centrípeta: F_n=(mv²)/R = m·ω²·R. La existencia de un movimiento circular supone siempre la acción de una fuerza perpendicular a la dirección de la velocidad y con sentido hacia el centro de la curva descrita por el móvil.




• - La frecuencia: medida escalar de la velocidad de rotación.




• - El período: es el inverso de la frecuencia y representa el tiempo que se tarda en dar una revolución completa. .

Todo cuerpo elástico (por ejemplo, una cuerda elástica) reacciona contra la fuerza deformadora para recuperar su forma original. Como ésta, según la ley de Hooke, es proporcional a la deformación producida, la fuerza deformadora tendrá que tener el mismo valor y dirección, pero su sentido será el contrario. F=-k·x.
k representa la constante elástica (o recuperadora) del resorte y depende de su naturaleza y geometría de construcción. Es decir, es un valor que proporciona el fabricante sobre el muelle u otro objeto elástico en cuestión y que depende del material del que esté fabricado y de su forma. El valor de la fuerza elástica es, por tanto, variable, puesto que depende en cada caso del valor que corresponde a la deformación x.

Supón que tienes un resorte del que cuelga un cuerpo de masa m. Si aplicas una fuerza exterior deformadora, el resorte reacciona contra ella con una fuerza elástica (F=-k·x) para retornar a la posición de equilibrio.

Esta fuerza, al actuar sobre el cuerpo de masa m, le comunica una celeración variable, lo que acarrea como consecuencia una velocidad que aumenta progresivamente y que es máxima cuando el cuerpo alcanza su posición de equilibrio.

¿Se detendrá el cuerpo en esa posición? Lógicamente, no. Debido a su inercia intentará continuar su movimiento y, así, obliga al muelle a una compresión. Éste, a su vez, reacciona contra la deformación con otra fuerza elástica, variable, hasta anular la velocidad. Y, otra vez de nuevo, se repite el proceso dando origen a un movimiento del cuerpo a un lado y a otro de su posición de equilibrio. Ese movimiento recibe el nombre de vibratorio armónico.

Ejercicio práctico para determinar la constante k de un muelle (o cualquier cuerpo elástico).

1. Mide la elongación del muelle (cuerpo elástico) sin masa (en reposo).
2. Cuelga del muelle (cuerpo elástico) una masa de 50 gramos y mide la posición del muelle.
3. Incrementa la masa en intervalos constantes y apunta la elongación (x) en cada caso.
4. Dibuja una gráfica con F (masa · gravedad (9′81N aprox) en el eje Y y las elogaciones (x) en el eje x.
5. Calcula el gradiente de la recta. Dicha pendiente equivaldrá al valor de k del muelle utilizado.

La definición rigurosa de movimiento armónico es:
el movimiento rectilíneo, variado no uniformemente, producido en un cuerpo cuando sobre él actúa una fuerza elástica (fuerza proporcional a la deformación y de signo contrario a ella).

El movimiento armónico es un movimiento periódico, es decir, el objeto repite sus características de movimiento (posición, velocidad y aceleración) en intervalos constantes de tiempo. Cada intervalo se conoce con el nombre de período.
Se demuestra experimentalmente que el período de un movimiento armónico corresponde con la expresión: T=2·π·raíz(m/k).
Ya profundizaremos más en movimiento armónico simple en los temas de ondas.

Los hilos y las cuerdas sirven para transmitir fuerzas de un cuerpo a otro. Si en los extremos de una cuerda se aplican dos fuerzas iguales y contrarias la cuerda se pone tensa; denominándose tensión de la cuerda a cada una de esas dos fuerzas que soporta sin romperse.
Si modelamos un sistema con una masa colgando de una cuerda podemos distinguir varios casos.
Podría ser que la cuerda estuviera sujeta a una masa que se moviera con velocidad constante hacia arriba o hacia abajo. En este caso la tensión de la cuerda únicamente contrarrestaría a la fuerza contraria, el peso. Por tanto, T=m·g.
El segundo caso sería que la cuerda soportara una masa que se subiera o bajara con aceleración constante mayor que g (es decir, se mueve hacia arriba porque es mayor que la aceleración de la gravedad). En este caso la tensión ha de realizar dos efectos simultáneos: 1) contrarrestar el peso del cuerpo y 2) producir en él la aceleración de subida. Por lo tanto, T=m·g + m·a=m(g+a).
Un último caso vendría dado si la cuerda estuviera sujeta a un cuerpo que descendiera con aceleración constante menor que g (es decir, se mueve hacia abajo porque es menor que la aceleración de la gravedad), la tensión únicamente contrarrestaría aquella parte del peso que no produce la aceleración de caída. Por lo tanto, T=m·g - m·a = m(g-a).

CASO DEL ASCENSOR:

• En reposo:
  • V₀=0 –> a=0 –> T-P=0. Por lo tanto T=P.
• Hacia arriba:
  • 1) a>0 –> T-P=m·a. Por lo tanto T=m(g+a)
  • 2) a=0 –> T-P=0. Por lo tanto T=P.
  • 3) a<0 --> T-P=m·(-a). Por lo tanto T=m(g-a).
• Hacia abajo:
  • 1) a>0 –> P-T=m·a. Por lo tanto T=m(g-a)
  • 2) a<0 --> P-T=m·(-a). Por lo tanto T=m(g+a)
• Se rompe el cable:
  • a=g –> P-T=mg. Por lo tanto T=m(g-g)=0.

Sistemas de dos masas:
Suelen ser frecuentes aquellas situaciones en las que dos cuerpos de masas diferentes cuelgan de los extremos de una cuerda (que suponemos de masa despreciable) que pasa por una polea con rozamiento prácticamente nulo. En este caso la masa del sistema es la suma de las masas enlazadas; el peso de la mayor favorece el movimiento del sistema si se deja en libertad, es decir, tira de la cuerda, mientras que la masa menor se opone al movimiento (es tirada de ella).

Giros. Tensión y fuerza centrípeta:
Cuando un cuerpo gira en un plano vertical está sometido a dos fuerzas, su peso y la tensión en la cuerda. Si el cuerpo se encuentra en el punto más alto, el peso que actúa verticalmente hacia abajo, suma su efecto al de la tensión de la cuerda para dar origen a la fuerza centrípeta. En cambio, cuando se encuentra en el punto más bajo la tensión de la cuerda ha de anular el peso del cuerpo, y, además, producir la fuerza centrípeta.