Operadores diferenciales en coordenadas curvilíneas
Para trabajar con campos, como vimos en el artículo anterior, se necesitaban unos nuevos ejes de coordenadas que nos facilitarían la faena en los cálculos: el eje de coordenadas rectangular, el cilíndrico y el esférico. También vimos cómo pasar de uno a otro y ahora debemos definir los operadores gradiente, divergencia y rotacional para estas nuevas coordenadas.
Primero un par de deficiones:
Campo escalar: En una región del espacio existe un campo escalar si a cada punto le corresponde un valor de una función escalar. Un ejemplo es un campo de temperaturas donde cada punto adquiere un valor en grados centígrados.
Campo vectorial: En una región del espacio existe un campo vectorial si a cada punto le corresponde un vector de una función vectorial. Un ejemplo es el campo eléctrico donde en cada punto la carga eléctrica tiene además un sentido de movimiento y dirección.
GRADIENTE: (escalar –> vectorial)
En cartesianas (o rectangulares), la variación elemental de una función escalar f=f(x,y,z) en el punto P viene dada por su diferencial:
δf=(∂f/∂x)·δx+(∂f/∂y)·δy+(∂f/∂y)·δz y se puede escribir como: δf=[(∂f/∂x)i+(∂f/∂y)j+(∂f/∂y)k]·δr, donde δr es el vector desplazamiento elemental del punto P, y el vector ∇f=(∂f/∂x)i+(∂f/∂y)j+(∂f/∂y)k es el gradiente de la función f en el punto P.
Por lo tanto, el diferencial de la función se transforma en: δf=∇f·δr.
Si δr está sobre la superficie de nivel, la variación de la función es nula (en líneas isotermas por ejemplo). δf=∇f·δr=0, y como un producto escalar es cero cuando los vectores son perpendiculares se deduce que el gradiente de f es normal a la superficie. Además, lleva la dirección de la máxima variación de la función y en sentido creciente de la misma.
El gradiente en otros ejes conserva la definición pero podemos reescribir la fórmula de forma genérica así:
∇f=1/h1(∂f/∂u1)u1+1/h2(∂f/∂u2)u2+1/h3(∂f/∂u3)u3, donde:
para rectangulares: h1=x, h2=y, h3=z y u1=x, u2=y, u3=z
para cilíndricas: h1=1, h2=ρ, h3=1 y u1=ρ, u2=φ, u3=z
para esféricas: h1=1, h2=r, h3=rsenθ y u1=r, u2=θ, u3=φ
DIVERGENCIA: (vectorial –> escalar)
Dado un campo vectorial en cartesianas (o rectangulares) F=F(x,y,z), se define como divergencia de este campo en un punto P a la expresión:
∇·F=lim 1/∂V·∫∫F·δS
donde ∂V es un elemento de volumen entorno al punto P y la integral de superficie del flujo (F·δS) se extiende por toda la superficie de dicho volumen.
El propósito de la divergencia es la cuantificación del flujo, expresa el flujo por unidad de volumen (∇F=δΦ/δV).
Si la divergencia es positiva, se considera una fuente, y si es negativa un sumidero. Si es nula se dice que el campo es solenoidal.
Una expresión más común para la divergencia, hallada a partir de la suma de los flujos en las diferentes direcciones que atraviesan un volumen es:
∇·F=(∂Fx/∂x)+(∂Fy/∂y)+(∂Fz/∂z)
Extendiendo esta fórmula para hacerla genérica a cualquier sistema de referencia obtenemos:
∇·F=1/(h1h2h3)·(∂(h2h3F1)/∂u1)+1/(h1h2h3)·(∂(h1h3F2)/∂u2)+1/(h1h2h3)·(∂(h1h2F3)/∂u3), donde:
para rectangulares: h1=x, h2=y, h3=z y u1=x, u2=y, u3=z
para cilíndricas: h1=1, h2=ρ, h3=1 y u1=ρ, u2=φ, u3=z
para esféricas: h1=1, h2=r, h3=rsenθ y u1=r, u2=θ, u3=φ
ROTACIONAL: (vectorial –> vectorial)
En cartesianas definimos: ∇xF·δS=∫F·δr, (donde ∇xF es el rotacional) es decir, que el flujo de una función vectorial F a través de un elemento de superficie δS es igual a la circulación elemental del campo F a lo largo de la curva C que encierra dicho entorno. Operando por coordenadas obtenemos la ecuación para el rotacional:
∇xF=(∂Fz/∂y-∂Fy/∂z)i+(∂Fx/∂z – ∂Fz/∂x)j+(∂Fy/∂x – ∂Fx/∂y)k.
Si el rotacional es nulo (campo irrotacional), lo es cada una de sus componentes. Por lo tanto: (∂Fz/∂y-∂Fy/∂z)=0, (∂Fx/∂z – ∂Fz/∂x)=0 y (∂Fy/∂x – ∂Fx/∂y)=0 que son condiciones para la existencia de una función potencial, es decir, el campo será conservativo.
De forma genérica, nuevamente, escribiríamos la fórmula así:
∇xF=(1/h2h3)(∂h3F3/∂u2-∂h2F2/∂u3)u1+(1/h1h3)(∂h1F1/∂u3-∂Fz/∂u1)u2+(1/h1h2)(∂h2F2/∂1-∂F1/∂y)u3, donde:
para rectangulares: h1=x, h2=y, h3=z y u1=x, u2=y, u3=z
para cilíndricas: h1=1, h2=ρ, h3=1 y u1=ρ, u2=φ, u3=z
para esféricas: h1=1, h2=r, h3=rsenθ y u1=r, u2=θ, u3=φ
