Ley de Darcy
La teoría de flujo laminar y lento a través de un medio poroso homogéneo se basa en un experimento clásico originalmente desarrollado por Darcy (1856). Un diseño esquemático del experimento lo mostramos en la figura a continuación. Un filtro homogéneo de altura h es limitado por secciones planas de similar área superficial A.
El filtro es llenado con un líquido incomprensible. Manómetros abiertos son colocados para medir la presión en los puntos inferior y superior del filtro, ofreciendo las alturas h1 y h2, respectivamente. Por la variación de las varias cantidades involucradas, Darcy dedujo la siguiente relación:
Donde Q es el volumen total de fluido que atraviesa el filtro por unidad de tiempo [L3T-1] y K [LT-1] es una constante que depende de las propiedades del fluido y del medio poroso. La ecuación (2.2) es conocida como Ley de Darcy. El símbolo negativo en la expresión para Q indica que el flujo es en la dirección opuesta de presión creciente.
Esquema del experimento de filtrado de Darcy
La Ley de Darcy puede ser restringida en función de la presión p y de la masa específica ρ del líquido. En el punto superior del filtro (con elevación z2), la presión es p2 = rg(h2 – z2) y en el punto inferior (con elevación z1), la presión es p1 = rg(h1 – z1). Como z2 – z1 = h, aplicando en (2.2) se obtiene:
introduciendo una nueva constante K» = K / ρg [L3 T M-1] y suponiendo ρ y g constantes,
La ley de Darcy en su forma original (2.4) es de utilidad restringida. La primer tarea es elucidar el significado físico de la constante K«. Esta constante depende tanto de las características geométricas del medio poroso cuanto de las propiedades físicas del fluído en cuestión. Nutting en 1930 y luego Wyckoff en 1933 consideraron que esta constante puede ser escrita como:
donde μ es la viscosidad dinámica del fluido y k [L2] es la permeabilidad específica del medio poroso. Como la velocidad media u puede ser definida como:
La ley de Darcy se transforma en:
Esta ecuación puede ser generalizada en la forma diferencial, haciéndose que h tienda a cero.
Donde g es el vector en la dirección de la gravedad y con la magnitud de la aceleración de la gravedad. Cuando los efectos gravitatorios no son relevantes, entonces se llega a la forma de la ecuación que es utilizada genéricamente.
En el caso más general, el medio puede ser anisotrópico, situación en que la permeabilidad es una magnitud tensorial (y no escalar como aquí) y estadísticamente no homogénea, situación en que la permeabilidad varía espacialmente.