Transformaciones de Lorentz y Relatividad Especial

10 de mayo de 2010 Publicado por Iván García Cubero

Algo que hace a la Teoría de la Relatividad una parte de la física tan sorprendente y en ocasiones anti-intuitiva es el hecho de que en lugar de movernos en el espacio euclídeo cotidiano lo hacemos en un espacio de Minkowski. Esto básicamente viene a decir que estamos en un espacio de 4 dimensiones: las tres espaciales y una temporal, con unas determinadas propiedades. Se puede demostrar que las únicas tranformaciones que nos convierten un sistema de referencia a otro cuando trabajamos en Relatividad Especial son las conocidas como Transformaciones de Lorentz. Con estas transformaciones se consigue que las leyes de la física sean iguales sea cual sea el sistema de referencia inercial en el que se esté. Este es, de hecho, uno de los postulados de la Relatividad Especial, junto con que la velocidad de la luz en el vacío es constante en todo el universo.

Vamos a considerar dos sistemas de referencia, uno fijo que llamaremos S y otro que se mueve a una velocidad v respecto al primero, que llamaremos S». Así pues, las coordenadas en el sistema S serán (x, y, z, t) y para el S» serán (x», y», z», t»). Vamos a suponer que ocurre un suceso en el punto (x, y, z) en un instante determinado t y queremos saber las coordenadas de este suceso en el sistema S». La forma de hacerlo sería aplicar las transformaciones de Lorentz:

$x»=gamma (x-vt) y»=y z»=z t»=gamma (t-frac{v}{c^2}x)$

Donde:

$gamma = frac{1}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2}}}$

Este término γ siempre será mayor que 1 pues es imposible superar la velocidad de la luz, c.

Despejando de forma trivial se pueden obtener las ecuaciones para el sistema S en función de las coordenadas del S».

$x=gamma (x»+vt») y=y» z=z» t=gamma (t»+frac{v}{c^2}x»)$

Una ves que tenemos esto podemos estudiar ciertos aspectos curiosos de la Relatividad Especial, como son la contracción del espacio y la dilatación del tiempo.

Veamos la contracción espacial. Supongamos que tenemos en el sistema S» una regla de longitud L» cuyos extremos están situados en el origen del sistema S» y el punto x_B«. En el instante t=0, un observador que se encuentre en el sistema S verá que la longitud de la regla es diferente.

Sistema S»

$x_A»=0 x_B»=L» L» = x_B»-x_A»= x_B»$

Sistema S

$x_A=0 x_B=frac{x_B»}{gamma} L= x_B-x_A = frac{L»}{gamma}$

Y como γ es mayor que 1 tenemos que la longitud de la regla en el sistema S es más pequeña que en el sistema S».

El otro aspecto es la dilatación temporal. Vamos a suponer que ocurre un suceso en el sistema S» y que tiene una duración T». Ahora bien, ¿cuánto dura este suceso en el sistema S?

Sistema S»

$x_A»=x_B»=0 t_A»=0 t_B»=T» t_B»-t_A»=T»$

Sistema S

$x_A=0 t_A=0 x_B ot=x_A t_B=gamma t_B» T=t_B-t_A=gamma t_B»=gamma T»$

Así pues el tiempo en sistema en reposo S es mayor que en el sistema en movimiento S».

Existen muchas más curiosidades y paradojas que tienen lugar en la Teoría de la Relatividad Especial, pero os dejo que las investiguéis por vosotros mismos. Seguro que os resultará muy entretenido.