Doble péndulo
La L lagrangiano de un sistema mecánico está dado por la relación:
L = T – U # # A.1. Dónde:
T: energía cinética.
U: energía potencial.
La formulación de Lagrange utiliza el concepto de coordenadas generalizadas, es decir, q un vector de posición (en general, convenientemente escogidos para facilitar el análisis) y su derivada con respecto al tiempo (Velocidad representados en la notación habitual en lugar de dq / dt).
Y la ecuación de movimiento se da de una manera genérica: d (∂ L / ∂ ) / Dt = L ∂ / ∂ q # # B.1.
Naturalmente, esta ecuación se puede demostrar, pero esto no se hace porque la finalidad es sólo un enfoque a corto. Si q es igual a un vector de posición en coordenadas cartesianas, el desarrollo de los cables dará lugar a la segunda ley de Newton.
Ejemplo 01: Péndulo
La formulación de Lagrange para el movimiento es general, pero, de acuerdo con los propósitos de este artículo, se analiza un caso particular del péndulo simple plano.
En un estudio clásico con las leyes de Newton, no hay necesidad de un vector de posición con dos coordenadas r r r x y. Sin embargo, el ángulo θ que la varilla del péndulo con la vertical define perfectamente la posición de la misma, ya que la longitud ℓ se supone constante.
Y por lo tanto θ (Velocidad angular) son las coordenadas generalizadas para este caso, lo que equivale AQE el tema anterior.
La energía cinética está dada por:
T = (1 / 2) m (ℓ ) 2 # # A.1.
La energía potencial es
U = – mg cos θ ℓ # # B.1.
A continuación, el lagrangiano del péndulo viene dado por L = (1 / 2) m (ℓ ) + Mg cos 2 θ ℓ # # C.1.
Por lo tanto,
∂ L / ∂ M = 2 ℓ .
L ∂ / ∂ θ = – mg sen θ ℓ.
B.1 # # Uso de la sección anterior, d (m 2 ℓ ) / Dt = – mg sen θ ℓ. Por lo tanto, m 2 ℓ = – Mg sen θ ℓ. Simplificando y reordenando, se llega a la ecuación final del movimiento del péndulo simple:
+ (G / ℓ) sen θ = 0 # # D.1.
Ejemplo 02: Péndulo Doble
El péndulo doble es un sistema que consta de un péndulo unido al extremo de otro, y es un ejemplo clásico de un sistema caótico. Aunque las ecuaciones de movimiento son relativamente simples, el comportamiento del sistema es altamente complejo y puede ser impredecible.
El pivote P de un péndulo simple se encuentra en un bloque de masa despreciable que puede deslizarse sin fricción bajo la acción de un resorte ideal de constante k.
El grado de libertad de expresión puede ser definida como el número de variables independientes necesarias para especificar la posición (sin movimiento) a todas las partes del sistema. En el ejemplo anterior sólo hay un grado de libertad, en los que hay dos: la coordenada x del punto P y θ el ángulo de la barra del péndulo de la vertical.
Las coordenadas x ‘de masa m está dada por x’ θ = sen x + ℓ. Y su coordenada vertical y = – ℓ θ cos.
Las velocidades de la masa m son v x = + ℓ cos θ. v y = ℓ θ pecado.
La energía cinética del péndulo es T = (1 / 2) m (v x + v 2 y 2) = (1 / 2) m ( 2 + 2 ℓ 2 + 2 cos ℓ θ ).
La energía potencial viene dada por U = (1 / 2) kx 2 – mg cos θ ℓ.
La primera parte se refiere a la energía potencial de la primavera y la segunda parte es la energía potencial de masa m en el ejemplo anterior.
La función de Lagrange se calcula por:
L (x, θ, , ) = T – U = (1 / 2) m ( 2 + 2 ℓ 2 + 2 cos ℓ θ ) – (1 / 2) 2 + kx mg cos θ ℓ.
Observe que en este caso, se trata de una función de cuatro coordenadas (x, θ) En lugar de dos (θ, ) A partir del ejemplo anterior.
Fig. 01
Para x L ∂ / ∂ M = ( + ℓ cos θ ).
d (L ∂ / ∂ ) Dt = m M + ℓ ( cos θ – 2 sen θ).
L ∂ / ∂ x = – k x.
Para θ, L ∂ / ∂ M = ℓ (ℓ + cos θ).
d (L ∂ / ∂ ) Dt = m 2 ℓ M + ℓ ( cos θ – pecado θ).
∂ L / ∂ θ = – m ℓ pecado θ – mg sen θ ℓ.
Ejemplo 03: Péndulo Doble con Resorte
En este caso, se añade un resorte entre los dos péndulos. Este resorte añade un nuevo grado de libertad al sistema, lo que aumenta la complejidad de las ecuaciones de movimiento. Sin embargo, el método de Lagrange sigue siendo aplicable y puede ser utilizado para derivar las ecuaciones de movimiento.
La energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas de los dos péndulos y la energía potencial es la suma de las energías potenciales de los dos péndulos y la energía potencial del resorte. La función de Lagrange es entonces la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial.
Al aplicar las ecuaciones de Lagrange, se obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema. Estas ecuaciones son no lineales y su solución requiere técnicas numéricas.
Este ejemplo muestra la versatilidad del método de Lagrange para tratar sistemas mecánicos complejos y cómo puede ser aplicado a sistemas con varios grados de libertad.