Principio de los trabajos virtuales – Mecánica
El argumento propuesto por D’Alembert se constituye básicamente de un cambio imaginario en las coordenadas espaciales de las partículas de un sistema en el tiempo. Son propuestos desplazamientos virtuales, de forma que el sistema pueda ser descrito a través de un nuevo instrumento matemático generado a partir del tratamiento de estos supuestos.
Consideramos un sistema en equilibrio; la fuerza resultante actuante en la partícula es nula. De esta forma podemos expresar:
Fs = 0 (s = 1,2… N) (1.a)
Entonces con base en el principio descrito anteriormente podemos escribir:
Fs.δrs = 0 (2.a)
Entonces para las N partículas tendremos:
ΣsFs.δrs = 0 (3.a)
Tales argumentos son fácilmente aceptables desde el punto de vista de las condiciones de equilibrio. Pero si las fuerzas Fs son continuas de la posición entonces la última expresión puede ser reconstituida así:
δW = 0 (4.a)
Que constituye básicamente el enunciado del principio del trabajo virtual:
“es nulo el trabajo realizado a lo largo de un desplazamiento virtual infinitesimal arbitrario de un sistema a partir de una posición de equilibrio”.
Si hubiese alguna restricción al movimiento libre del sistema, las fuerzas pueden ser clasificadas como fuerzas aplicadas Fs(a) y como fuerzas de vínculo o fuerzas de enlace Fs(v) y entonces de esta forma tendremos:
Fs = Fs(v) + Fs(a) (5.a)
Aplicamos la sumatoria en todas las partículas que constituyen el sistema:
ΣsFs(v).δrs + ΣFs(a).δrs = 0 (3.b)
Introducimos un postulado que así nos permitirá reescribir la última ecuación:
Fs(v).δrs ≥ 0 (6.a)
El resultado de la combinación de (3.b) y (6.a) da como resultado:
ΣFs(a).δrs ≤ 0 (7.a)
En este caso apenas las fuerzas aplicadas son involucradas en la interpretación del sistema. Estas fuerzas son supuestamente funciones ininterrumpidas en el espacio. De esta forma, podemos describir el elemento de trabajo δW siendo restringido a las posibilidades ofrecidas por el sistema. Entonces obtenemos:
δW ≡ ΣFs(a).δrs ≤ 0 (7.b)
Es necesario considerar apenas los desplazamientos δ’ geométricamente reversibles. Estas limitaciones dan como resultado:
ΣFs(a).δ’rs ≤ 0
Y en su sentido opuesto:
ΣFs(a).( –δ’rs) ≤ 0
De esta forma tendremos una ecuación que generaliza el principio del trabajo virtual que asume la forma;
ΣFs(a).δ’rs = 0 (7.c)
Lo cual se enuncia:
“Es nulo el trabajo realizado en el correr de un desplazamiento virtual reversible infinitesimal, compatible con los enlaces de un sistema a partir de una posición de equilibrio”.
Podemos expresar ecuaciones que contengan el mismo número para los grados de libertad y coordenadas. Estas son las coordenadas generalizadas qi y cada desplazamiento virtual δ’rs realizado en una de estas direcciones puede ser realizado de forma independiente. Inmediatamente la ecuación (7.c) se reduce a:
ΣQi(a)δ’qi = 0 (7.d)
Hasta aquí fueron considerados apenas sistemas en equilibrio estático. Pero podemos abarcar los sistemas en movimiento, insertando las ecuaciones de movimiento:
Fs = d(ms.vs)/dt (8.a)
Esto es:
Fs – d(ms.vs)/dt = 0 (8.b)
Basado en lo que ha sido descrito anteriormente, tenemos para un desplazamiento virtual arbitrario:
Σs(Fs – d(ms.vs)/dt).δrs = 0 (8.c)
Tendremos presencia de fuerzas de enlace y de fuerzas aplicadas. Entonces reescribimos la ecuación anterior en función de tales fuerzas:
ΣsFs(c).δrs + Σs(Fs(a) – d(ms.vs)/dt) .δrs = 0
Apenas para los desplazamientos aceptables para los respectivos enlaces, podemos inferir:
Fs(c).δrs ≥ 0
Y de ello surge:
Σs(Fs(a) – d(ms.vs)/dt) .δrs ≤ 0
Restringiéndonos a desplazamientos virtuales reversibles, tendremos:
Σs(Fs(a) – d(ms.vs)/dt) .δ’rs = 0
Para tornar cada desplazamiento virtual independiente uno del otro, es necesario transformar las coordenadas del sistema para un sistema de coordenadas generalizadas conveniente. Las fuerzas aplicadas Fs(a) son responsables por la realización del trabajo, a lo largo del respectivo desplazamiento virtual. El término – d(ms.vs)/dt esta constituido por las fuerzas de inercia que podemos representar de forma simplificada como Is.
En resumen, la última ecuación asume la forma:
Σs(Fs(a) + Is) .δ’rs = 0
El resultado de la suma entre paréntesis nos da la fuerza efectiva. De esta forma llegamos a la expresión conocida como principio de D’Alembert:
“el trabajo total realizado por las fuerzas efectivas es nulo en un desplazamiento infinitesimal reversible, compatible con los enlaces de cualquier sistema dinámico”.