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Estructura cristalina y redes de Bravais (I)

Publicado por Iván García Cubero

En Física del Estado Sólido o en Física de materiales lo primero que a uno le enseñan es a saber estudiar la materia. Para ello es importante conocer la estructura que tiene la misma y poder definirla de forma matemática para un mayor conocimiento de la misma. Sin embargo, este es un tema complicado, pues un sólido está formado por un número de átomos o partículas del orden del número de Avogadro (1023) y estudiar un sistema con tantas partículas resulta, al menos hoy en día, imposible. Para conseguir abordar el problema se recurre a aproximaciones y simplificaciones. En esta entrada no trataremos estas cuestiones sino que vamos a ir un poco más allá, viendo las diferentes redes cristalinas que se forman en los sólidos.

Para empezar debemos realizar un par de definiciones importantes que nos ayudarán a comprender el resto del estudio. Además el término red cristalina se puede entender de forma intuitiva, pero de forma matemática es más complicado. De hecho la red cristalina es la unión de las dos primeras definiciones: red y base.

Red. La red se define mediante tres vectores de traslación a1, a2 y a3, de forma que sea cual sea el átomo de la red en el que nos situemos, la distribución atómica que vemos es la misma, es decir ya estemos en el punto r como en el r’ vemos lo mismo. Matemáticamente tenemos que la red se define como:

\vec{r'} = \vec{r} + u_1\cdot\vec{a_1} + u_2\cdot\vec{a_2} + u_3\cdot\vec{a_3}

Siendo los ui números enteros y arbitrarios.

Base. A partir de los vectores de traslación anteriores podemos definir una base si se cumplen una condición necesaria y suficiente: los coeficientes de la combinación lineal de los vectores de traslación deben tener determinante con módulo igual a uno ( |det α| = 1 ).

\vec{r'_i} = \displaystyle\sum_{j} \alpha_{ij}\cdot\vec{a_j}

Al fin y al cabo, la base es la combinación lineal de vectores que nos representa toda la red.

Celda o malla unidad. La celda unidad es el paralelogramo o paralelepípedo formado por los vectores de la base.

Celda o malla primitiva. Es una celda en la que tan sólo hay un nodo, es decir, una celda en la que tan sólo hace falta un punto y los vectores de la base para reproducir toda la red.

Red de Bravais. A partir de la definición de red se define la red de Bravais, que no es más que una red que posee una serie de características propias. Podemos definir una red de Bravais aplicando tres criterios:

  1. En una red de Bravais todos los puntos tienen que ser equivalentes; es decir, deben ser invariantes bajo rotaciones y traslaciones.
  2. Las redes de Bravais deben poseer una cierta simetría mínima.
  3. Ante dos o más posibles redes de Bravais, la verdadera red de Bravais es aquella más sencilla.

Una vez vistas estas definiciones podemos proceder a comenzar el estudio matemático de las diferentes estructuras cristalinas que existen, las redes de Bravais que forman, y algunas propiedades física de la materia.

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