Mecánica Hamiltoniana
La mecánica hamiltoniana es una reformulación de la mecánica clásica que se introdujo en 1833 por el matemático irlandés William Rowan Hamilton.
Surgió a partir de la mecánica lagrangiana, una reformulación de la anterior mecánica clásica introducida por Joseph Louis Lagrange en 1788, pero puede ser formulada sin recurrir a la mecánica lagrangiana con espacios simpléctica (véase el formalismo matemático , a continuación).
El método de Hamilton se diferencia del método de Lagrange en que en lugar de expresar las limitaciones de orden diferencial por segunda vez un n-dimensional espacio de coordenadas (donde n es el número de grados de libertad del sistema), que expresa las limitaciones de orden por primera vez en un n 2 dimensiones del espacio de fases.
Al igual que con la mecánica de Lagrange, Hamilton ecuaciones que proporcionan un equivalente y nueva forma de ver la mecánica clásica. En general, estas ecuaciones no proporcionan una manera más conveniente de resolver un problema particular.
Por el contrario, que proporcionan una visión más profunda tanto de la estructura general de la mecánica clásica y su relación con la mecánica cuántica tal como se entiende a través de la mecánica hamiltoniana, así como su conexión con otras áreas de la ciencia.
Además, la mecánica hamiltoniana tiene una relevancia particular en la teoría de la relatividad. En este contexto, el hamiltoniano juega un papel crucial en la descripción de cómo los sistemas cambian con el tiempo en un marco de referencia en movimiento. Esto es especialmente importante en la teoría de la relatividad especial, donde la transformación de Lorentz, que describe cómo las leyes de la física se ven en diferentes marcos de referencia, es fundamental.
En la teoría de la relatividad general, la mecánica hamiltoniana es aún más relevante. Aquí, el hamiltoniano describe cómo la curvatura del espacio-tiempo afecta la evolución de un sistema físico. Esto es esencial para entender fenómenos como la gravedad y la expansión del universo.
Síntesis de los usos
El valor del Hamiltoniano es la energía total del sistema que se describe. Para un sistema cerrado, es la suma de la cinética y energía potencial en el sistema. Hay un conjunto de ecuaciones diferenciales conocido como las ecuaciones de Hamilton que dan la evolución temporal del sistema.
Hamiltonianos se puede utilizar para describir tales sistemas simples como una pelota que rebota, un péndulo o un resorte oscilante en el que los cambios de energía cinética de tiempo potencial y de regreso otra vez. Hamiltonianos también puede ser empleado para modelar la energía de otros sistemas dinámicos más complejos, tales como las órbitas planetarias en mecánica celeste, y también en la mecánica cuántica.
Además, los hamiltonianos son fundamentales en la descripción de sistemas cuánticos. En la mecánica cuántica, el hamiltoniano es el operador correspondiente a la energía total del sistema. Las ecuaciones de Schrödinger, que describen la evolución temporal de los sistemas cuánticos, están directamente relacionadas con el hamiltoniano. De hecho, la ecuación de Schrödinger puede ser vista como una versión cuántica de las ecuaciones de Hamilton.
Las ecuaciones de Hamilton son generalmente por escrito de la siguiente manera:
En las ecuaciones anteriores, el punto denota la derivada normal con respecto al tiempo de las funciones p = p (t) (llamados momentos generalizados) y q = q (t) (llamados coordenadas generalizadas), los valores teniendo en algún espacio vectorial, y = es el llamado hamiltoniano, o (valor escalar) función de Hamilton. Por lo tanto, más explícitamente, una forma equivalente se puede escribir
y especificar el dominio de los valores en los que el parámetro t (tiempo) varía.
Para una derivación detallada de estas ecuaciones de la mecánica lagrangiana , ver a continuación.
Interpretación física de base
La interpretación más simple de las ecuaciones de Hamilton es la siguiente, su aplicación a un sistema de una dimensión que consiste en una partícula de masa m en virtud del tiempo las condiciones de frontera independiente, y que muestran conservación de la energía : El hamiltoniano representa la energía del sistema, que es la suma de cinética y energía potencial , tradicionalmente denotada T y V, respectivamente. Aquí q es la coordenada x y p es el impulso, mv.
Entonces:
Ten en cuenta que T es una función de P, mientras que V es una función de x (q) por sí sola.
Ahora el tiempo de los derivados del momento p es igual a la fuerza newtoniana, y aquí la primera ecuación de Hamilton significa que la fuerza sobre la partícula es igual a la velocidad a la que se pierde energía potencial con respecto a los cambios en el, x su ubicación. (Fuerza es igual al negativo del gradiente de energía potencial.)
El tiempo de los derivados de q significa aquí la velocidad: la segunda ecuación de Hamilton aquí significa que la velocidad de la partícula es igual a la derivada de su energía cinética con respecto a su impulso. (Debido a que la derivada con respecto a p, p 2 / 2 m es igual a p / m = mv / v = m.)