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Formalismo matemático

Publicado por Martín

A cada estado de un sistema físico le asignaremos un elemento de un espacio virtual complejo H (espacio de Hilbert), de dimensión N. Normalmente N tiende a infinito.
Esto será de ayuda ya que conocemos como funcionan los espacios vectoriales. Llamaremos a cada elemento “ket” y lo representaremos por . Denotaremos un espacio dual H* formado por los mismo elementos de H, pero conjugados, llamados “bra” a46.gif .
a48.gif
Definimos el producto escalar como: a47.gif = un nº complejo

a45.gif

Definimos observable como toda magnitud que se puede medir, y las representaremos mediante operadores. Por ejemplo siendo el operador A:

Si a49.gif llamaremos a a (nº) autovalor de A y alfa autofunción o autovector del operador A.

El conjunto a50.gif se llamará espectro. Si ocurre que 2 o mas autoestados tienen el mismo autovalor se dice que el operador tiene espectro degenerado. Por ejemplo:

a51.gif degeneración de orden 2

Se define operador adjunto: A*, siendo el correspondiente de A en el espacio dual. Si A=A* A se llama hermético.

Los autovalores de los operadores herméticos son reales.

Los autovalores de un operador son ortogonales, es decir: a52.gif

Por construcción H está generado por el conjunto de autovectores, es decir el conjunto de autovectores es una base. De esta manera podemos representar cualquier otro elemento como combinación lineal de estos elementos: a53.gif

Se define conmutador de 2 operadores como a59.gif . Esta igualdad a55.gif no tiene porque ser cierta, lo será sólo en el caso de que el conmutador sea igual a 0. Si el conmutador es igual a 0, A y B tienen los mismos autovectores, es decir tienen una base común.

Se define el valor medio de un operador como: a61.gif . El error cometido en el valor medio se llama dispersión de un operador y se calcula como a60.gif
Cuando una magnitud física viene representada por un operador, el resultado de una medida de esa magnitud sólo puede ser un autovalor del operador correspondiente.

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