Teorema de Noether
En este artículo se discute Emmy Noether ‘s con su primer teorema, que se deriva de la conservación de cantidades de simetrías. Por su teorema sobre la relación de dimensión infinita álgebras de Lie y ecuaciones diferenciales, véase el segundo teorema de Noether . Por su teorema no vinculados en finito álgebra sobre un campo, vea la normalización de Noether.
Noether (su teorema establece que cualquier diferenciable simetría de la acción de un sistema físico tiene su correspondiente ley de conservación). El teorema fue demostrado por el matemático alemán Emmy Noether en 1915 y publicado en 1918.
La acción de un sistema físico es la integral respecto al tiempo de una función lagrangiana (que puede o no puede ser un integrante más de espacio de una función de densidad lagrangiana), de la cual el comportamiento del sistema se puede determinar por el principio de mínima acción .
El teorema de Noether se ha convertido en una herramienta fundamental de la moderna física teórica y el cálculo de variaciones. Una generalización de las formulaciones seminales de las constantes de movimiento de Lagrange y la mecánica de Hamilton (1788 y 1833, respectivamente), no se aplica a sistemas que no pueden modelarse con una función de Lagrange, por ejemplo, sistemas disipativos con simetrías continua no es necesario tener un correspondiente conservación de la ley.
La expresión matemática
La esencia del teorema de Noether es la siguiente: Imaginemos que la acción que hemos definido anteriormente es invariante bajo pequeñas perturbaciones (deformaciones) de la variable t tiempo y coordenadas generalizadas q, (en una notación comúnmente utilizada por los físicos) que escribimos
donde delta.t perturbaciones y δ q son pequeños pero variables. Para la generalidad, se supone que puede haber varias, tales simetría transformaciones de la acción, por ejemplo, N, podemos utilizar un índice r = 1, 2, 3, …, N para no perderlos de vista. A continuación, una perturbación genérica se puede escribir como una suma lineal de los distintos tipos de perturbaciones
Con el uso de estas definiciones, Emmy Noether demostró que las cantidades de N se conservan, es decir, son constantes de movimiento, lo que es una versión simple del teorema de Noether.
El teorema de Noether ha tenido un impacto profundo en la física y la matemática, proporcionando un marco unificador para entender cómo las leyes de conservación están vinculadas a las simetrías fundamentales de la naturaleza. Las simetrías son una característica central en la descripción moderna de las leyes de la física, y el teorema de Noether proporciona la conexión crucial entre las simetrías y las leyes de conservación.
Además, el teorema de Noether ha encontrado aplicaciones en una variedad de campos más allá de la física, incluyendo la teoría de control, la geometría diferencial y la teoría de la relatividad. En la teoría de control, por ejemplo, el teorema de Noether puede ser utilizado para determinar las leyes de conservación para sistemas de control lineales y no lineales. En la geometría diferencial, el teorema de Noether puede ser utilizado para estudiar las propiedades de las variedades simétricas. Y en la teoría de la relatividad, el teorema de Noether juega un papel crucial en la descripción de las leyes de conservación de la energía y el momento.
El teorema de Noether también ha tenido un impacto significativo en la educación en física y matemáticas. Se enseña en cursos de física teórica y matemáticas aplicadas en universidades de todo el mundo, y es un tema central en muchos libros de texto sobre física teórica y matemáticas aplicadas.
En resumen, el teorema de Noether es una de las ideas más importantes en la física y las matemáticas del siglo XX. Su impacto se extiende más allá de estos campos, y continúa siendo una fuente de inspiración y una herramienta valiosa para los científicos y matemáticos de hoy.
Ejemplos
A título de ejemplo, considere un lagrangiano que no dependen del tiempo, es decir, que es invariante (simétrica) en los cambios t → t + t δ, sin ningún cambio en las coordenadas q. En este caso, N= 1, T = 1 y Q = 0; la cantidad correspondiente se conserva el total de energía H [3]
Del mismo modo, considera un lagrangiano que no depende de una coordenada q k, es decir, que es invariante (simétrica) en los cambios k q q k → k + q δ. En ese caso, N = 1, T = 0, y k Q = 1, la cantidad que se conserva es la que corresponde el impulso k p
En especial y la relatividad general , la conservación de estas leyes separadas, aparentemente, son aspectos de una ley de conservación individual, el de la energía tensor de tensiones , [5] que se deriva en la siguiente sección.
La conservación del momento angular L = r × p es un poco más complicado de obtener, pero similar a su contraparte la cantidad de movimiento. [6] Se supone que la simetría de la Lagrangiana es de rotación, es decir, que el lagrangiano no depende de la orientación absoluta del sistema físico en el espacio. Para ser concretos, supongamos que el lagrangiano no cambia bajo rotaciones pequeña de un δθ ángulo sobre un eje n, como una rotación transforma las coordenadas cartesianas de la ecuación
Dado que el tiempo no está siendo transformada, T es igual a cero. Teniendo δθ como parámetro ε y las coordenadas cartesianas r como las coordenadas generalizadas q, la correspondiente variables Q son propuestos por
Luego el teorema de Noether establece que las siguientes cantidades se conservan
En otras palabras, el componente del momento angular L a lo largo del eje n se conserva. Si n es, es decir, arbitraria, si el sistema es insensible a la rotación, a continuación, todos los componentes de L se conservan, en fin, el momento angular se conserva.