Teorema de Castigliano
Trabajo de una carga (energía de deformación)
Todos los cuerpos reales se deforman bajo la acción de una carga, pudiendo haber por ejemplo torsiones, compresiones, etc.
Considere una barra de longitud L, donde es aplicada una fuerza P. El trabajo ejercido por esta fuerza cuando la barra sufre una deflexión por definición, esta dado por:
donde dU es la energía de deformación, P es la carga axial aplicada en la barra y dx es la deformación de la barra, entonces,
Para el caso de un gran número de cargas aplicadas, el trabajo de deformación es medido en cada fuerza, de forma separada. Supongamos una barra con P1 y P2 aplicados sobre ella. Las deflexiones que ella sufre debido a cada fuerza está definida de la siguiente forma:
– Para P1:
– Para P2:
Por el principio de superposición:
El trabajo en cada punto referente a cada fuerza será:
U12 = U21,, pues α12=α21 debido al teorema de la reciprocidad que U12 = U21, pues α12=α21 debido al teorema de la reciprocidad que dice que la “deflexión producida en C2 es igual a la deflexión producida en C2 por una fuerza unitaria aplicada en C1”
Por tanto el trabajo total en la barra es:
Teorema de Castigliano
“La derivada parcial del trabajo de las fuerzas internas en relación a una fuerza actuante provee el desplazamiento correspondiente a la fuerza considerada en la dirección de acción de la fuerza en cuestión”
Este teorema se expresa de la siguiente manera:
Para probar este teorema usamos el ejemplo anterior de esta formal:
El teorema de Castigliano puede ser utilizado en la determinación de las reacciones de apoyo de estructuras estáticamente indeterminadas y en cualquier deformación.
Ejemplo: Consideramos una viga AB, sobre la cual está siendo aplicada una carga uniforma w y una fuerza P en su extremo. Siendo O el largo de la vida de 2m, w= 4 kN/m, E.I = 5 MN.m2 y P = 6 kN determine la deflexión lineal en el punto A.
La resolución sería:
Y el momento flector sería:
Sustituyendo los valores dados en el ejercicio tendremos que:
