Teoremas de Mohr
Teoremas de Mohr, aplicación de la ecuación de la línea elástica
1º Teorema de Mohr – Cálculo de ángulos de rotación relativos entre dos puntos de la barra: la rotación relativa de dos secciones es igual al área del diagrama de curvaturas entre esas dos secciones:
2º Teorema de Mohr – Cálculo de desplazamientos: La distancia entre las tangentes a la línea elástica en dos puntos cualesquiera a y b, medida en la vertical del punto b, es igual al momento estático del área definida por el diagrama de curvaturas
en relación a la recta perpendicular al eje de la pieza que pasa por el punto b:
Desplazamiento en Flexión
Cálculo de desplazamientos de estructuras sometidas al momento flector. Fórmula general: el método de integración de la línea elástica.
Línea elástica: Curva que define el eje de la pieza luego de su deformación
Aspectos Fundamentales:
– Los desplazamientos que ocurren en la barra son de un orden de magnitud muy inferior las dimensiones características de la barra (largo, altura y ancho de la sección transversal, etc.) por lo que la geometría final – deformada – de la barra es muy próxima de la geometría inicial;
– Las deformaciones son pequeñas, por lo que pueden ser obtenidas de los desplazamientos apenas a través de las parcelas lineales:
Aspectos Fundamentales
– Análisis lineal de desplazamientos: linearización de las rotaciones aproximación del arco de circunferencia por la tangente en el punto P, cuando P pasa de la posición Pini a la posición Pfinal.
– Análisis lineal de desplazamientos: los desplazamientos por flexión ocurren siempre en la dirección perpendicular al eje de la pieza en la configuración inicial – indeformada.
– Propagación de desplazamientos en estructuras isoestáticas – sentido opuesto al de propagación de esfuerzos
Ecuación de la línea elástica – Integración del diagrama de momentos flectores
Relación geométrica
Para pequeños desplazamientos, procediendo a la expansión en serie de potencias de expresión en torno de la configuración indeformada de la barra, se obtiene la expresión a continuación:
Relación Constitutiva
En régimen elástico lineal
Ecuación diferencial de la Flexión
Para la resolución de la ecuación diferencial de la flexión, en que M(z) usualmente es una función constante o polinomial (por trozos), se procede a su integración en los trozos de la pieza lineal a lo largo de los cuales la función M es integrable.
Ecuación de la Línea Elástica
La ecuación diferencial de la flexión es integrable por trozos, i.e., en trozos de la pieza lineal a lo largo de los cuales la función M(z) es integrable – así se obtiene la línea elástica de la pieza lineal.
1º Integración: Ángulo de rotación de la sección transversal
2º integración: Desplazamiento del CG de la sección transversal
Cálculo de las constantes de integración Φ0 y y0: a través de la imposición de las condiciones de la frontera de cada trozo de la barra a lo largo de la cual se procede a la integración; las condiciones de frontera son de 2 tipos.
i – Condiciones de apoyo: relacionadas con las condiciones de apoyo de la pieza lineal, por ejemplo;
– En un encastre se tiene Φ0 = 0 y y0 = 0
– En una viga simplemente apoyada de largo L se tiene Φ0 = 0 e yL = 0
ii – Condiciones de continuidad: En los puntos donde la función M(z) no es integrable, se interrumpe la integración y se imponen condiciones de continuidad de la deformada, entre los trozos consecutivos, en relación al ángulo Φ y al desplazamiento y:
Φizq = Φder y yizq = yder
Al imponerse las condiciones de frontera para todos los trozos, se obtiene siempre un sistema posible y determinado.