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Oscilaciones lineales

Publicado por Martín

Entendemos por oscilador lineal el sistema en que una partícula se desplaza de su posición en una sola coordenada. Véase por ejemplo un muelle, un péndulo, etc…

Para estudiarlos desarrollamos un potencial cualquiera V en una serie de Taylor:

Moviendo l origen de potenciales hacemos cero el primer término y el segundo se hace cero por definición ya que es una posición de equilibrio. De esa manera obtenemos que a1.gif y sabiendo que a2.gif obtenemos la ley de Hook: a3.gif

a.gif

Ahora según el número de fuerzas que actúan sobre nuestra partícula podremos distinguir distintos tipos de osciladores:

-oscilador armónico simple:

Fuerzas: F=-kx

Por la segunda ley de Newton obtenemos la ecuación de movimiento: a4.gif

haciendo a5.gif obtenemos a6.gif .
La solución de esta ecuación se puede escribir como: a7.gif

Se trate de un sistema conservativo, por lo tanto T+V=cnte donde a8.gif y a9.gif

-oscilador amortiguado

Fuerzas: F=-kx y la fuerza de rozamiento F=-bv

Será la ecuación de movimiento por tanto a10.gif y haciendo a11.gif obtendremos que a12.gif

Resolviendo debemos distinguir 3 casos:
• Inframortiguado: a13.gif
Se define a14.gif y la solución de la ecuación es a15.gif

• Amortiguamiento crítico: a16.gif
a17.gif
• Sobreamortiguado: a18.gif
Se definea19.gif y la solución de la ecuación es a20.gif
grafico1.gif
En todos los casos la amplitud decae con el tiempo de forma exponencial.

-Oscilaciones forzadas

Fuerzas: F=-kx ; F=-bv ; Y la fuerza que aplicamos nosotros al oscilador que puede ser de cualquier tipo, por ejemplo F=fcoswt

La ecuación de movimiento será a21.gif
La solución de esta ecuación no es tan trivial como las anteriores pero omitiré su resolución. Esta solución es: a22.gif
La primera parte de la solución representa los efectos transitorios, ya que a medida que avanza el tiempo este término se hace nulo. El segundo término representa los efectos transitorios.

Para que se produzca resonancia en amplitud (amplitud máxima) la frecuencia ha de ser a23.gif . Para que halla resonancia en energía cinética a25.gif

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