El Número Fi y la Secuencia de Fibonacci

Definido por Euclides (360 a.C.-295 a.C.) como resultado de una operación geométrca bastante simples, el número fi puede ser observado en padrones matemáticos, físicos y biológicos. Además de esto, es usado como referencia estética en las artes plásticas.

También conocido como “proporción aurea”, el fi es dado por la razón entre dos segmentos de recta, AB y AC, tal que C es un punto intermedia entre A y B elegido de forma que:

AC/CB = AB/AC

Esta razón vale 1,6180339887… y como supuestamente ya estás pensando, es un número irracional, así como pi, raíz cuadrada de 2, etc.

En 1202, un matemático de Pisa, conocido como Fibonacci publicó en su “Libro de los Ábacos” un problema que consistía en calcular cuántos conejos podrían ser producidos en un año, a partir de un único casal.

Suponiendo que cada casal lleva un mes, luego de nacer para estar fértil y genera siempre otro casal cada mes y que ningún conejo muere durante ese año. Fibonacci llegó a una secuencia que daba el número de conejos cada mes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

Esa serie en que cada término es obtenido por la suma de los dos números inmediatos anteriores, se hizo conocida como “Secuencia de Fibonacci”.

¿Y cuál es su relación con la proporción áurea? Sucede que, como notó el célebre Johannes Kepler en 1611, la división entre un número de Fibonacci y su precedente lleva al número fi cuando se avanza hacia valores cada vez mayores en la secuencia. O sea, F(n)/F(n – 1) tiende a fi cuando n tiende a infinito.

De modo inverso, los números de Fibonacci pueden ser generados a partir de una “Ley de Poténcia”, lo que los caracteriza como números no completamente aleatorios e intriga científicos y matemáticos que los encuentran en las más diversas situaciones.

Talvez por haber sido descubierto en la geometría, la proporción aurea fue muy utilizada por artistas del post renacimiento en la composición de sus cuadros.

Una construcción geométrica que lleva a un resultado interesante comienza con un rectángulo donde la razón entre el ancho L y la altura H sea justamente fi.

Ese es un rectángulo áureo.

Dividiendo ahora esa figura para formar un cuadrado de lado H, obtendremos, con la parte restante, otro rectángulo áureo.

Repitiendo el proceso en ese segundo rectángulo, obtendremos otro cuadrado y otro rectángulo, también áureo.

Continuando el ejercicio, obtendremos rectángulos áureos cada vez menores que convergen hacia un punto llamado polo de la construcción. Ese polo es el encontrado en las diagonales de los rectángulos áureos de la construcción.

Enseguida, trazando circunferencias con radios iguales a los lados de los cuadrados formados, llegamos a una curva que lleva al polo y que se asemeja a un espiral logarítmico, trazando cualquier recta a partir del polo, el irá cortar ese espiral siempre con el mismo ángulo.

Esto ayuda a entender porque aves predadoras como las águilas, halcones y gavilanes, descienden sobre sus presas, siguiendo una espiral como esta, con el objetivo sobre el polo.

Como los ojos de las aves son laterales, haciendo esto, mantiene la presa siempre en la misma línea de visión sin que precise girar la cabeza, lo que perjudicaría su aerodinámica en el vuelo.

En el mundo vegetal, el número fi y la secuencia de Fibonacci surgen en muchas situaciones, como en el arreglo de los gajos en los troncos de los árboles o en las espirales formadas en la cáscara del ananá.

Ellos también aparecen en fenómenos físicos, como los observados en experiencias de transmisión de la luz por capas de vidrio, con índices de refracción diferentes.