Física

Turbulencia y ecuación de Navier-Stokes

Publicado por Monica González

Intuitivamente, puede se entender turbulencia como el movimiento caótico de los fluidos – ya sea el polvo cósmico interestelar en las galaxias espirales, atmosferas gaseosas planetarias, o agua fluyendo a través de una canilla.

Las escalas de longitud varían de distancias galáxicas de 1016 – 1018 km, distancias planetarias de 1000 – 10.000 km, y distancias en la escala humana de 1mm – 10 m (en la atmosfera y ríos, así como en las piletas de la cocina).

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La descripción matemática básica de la dinámica de los fluidos desarrollada por Euler (1741) fue corregida para incluir las fuerzas de viscosidad por Navier (1827) y Stokes (1945).

La ecuación de Navier-Stokes para la velocidad v(r,t) de un fluido en el punto r y tiempo t simplemente es la ecuación de Newton para una partícula del fluido:

(Ecuación de Navier-Stokes)

Ella iguala la aceleración de una partícula del fluido (en el lado izquierdo de la igualdad) con la fuerza actuando en función del gradiente de presión p(r,t) (por unidad de volumen) y a la viscosidad del fluido h (por unidad de volumen).

En un principio, tendríamos que resolver dicha ecuación para comprender todos los fenómenos de turbulencia. Pero la ecuación es una pesadilla matemática. Si ignoramos el término ‘pesado’ de la ecuación

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, la solución de la ecuación lleva a la velocidad de ríos del orden de 106 km/h, y la velocidad máxima de automóviles del  orden de 2000 km/h, ¡ambos los cuales son totalmente imposibles!

La razón es que este término no lineal es normalmente mucho mayor que el primero término (lineal). La razón entre los dos términos es el número de ReynoldsRe, y para grandes números de Reynolds, la ecuación de Navier-Stokes es imposible resolver.

Dichas ecuaciones establecen que cambios en el momento y en la aceleración de una partícula fluida son simplemente el producto (resultado) de los cambios en la presión y fuerzas viscosas disipativas (similar a la fricción) actuando adentro del  fluido. Esa fuerza viscosa se origina de la interacción molecular y actúa como zarcillos para el fluido. Por lo tanto son uno de los más útiles conjunto de ecuaciones porque describen la física de un gran número de fenómenos de interés económico y académico.

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Son utilizadas para modelar el clima, corrientes oceánicas, flujos de agua en caños, movimientos de las estrellas adentro de la galaxia, flujo alrededor de los perfiles alares (alas), propagación de humo en incendios, etc. También son utilizadas en el proyecto de aeronaves y automóviles, en el estudio del flujo sanguíneo, el proyecto de usinas de fuerza, el análisis de los efectos de la polución, etc. Juntamente con las ecuaciones de Maxwell, ellas pueden ser utilizadas para el modelaje y estudios de magneto dinámica.

Para situaciones más complejas, tales como un sistema de clima global como El Niño o la sustentación en un ala, las soluciones para la ecuación de Navier-Stokes frecuentemente deben ser encontradas con la ayuda de computadoras. Ese es un campo de la ciencia conocido como CFD, sigla del inglés Computational Fluid Dynamics o Dinámica de los Fluidos Computacional.

A parte de eso, nadie en sana conciencia intentará resolver dicha ecuación para un campo turbulento en todos los puntos del espacio y tiempo. Son las propiedades estadísticas del flujo, tales como distribuciones de probabilidad de velocidad, o tasa de consumo de energía, que son importantes.

Miles de científicos en todo el mundo están intentando encontrar soluciones y modelos que nos ayuden a entender el fenómeno de la turbulencia por acercamientos de la ecuación de Navier-Stokes y en ese sentido se ofreció (y todavía nadie ha logrado ganar) el premio de U$1.000.000 en Mayo de 2000 por el Instituto de matemática Clay para cualquiera que haga progresos substanciales en la dirección de la matemática teórica capaz de ayudar en el entendimiento de ese fenómeno.

Categorías: Cinemática, Complementos matemáticos, Dinámica clásica, Física de Partículas, Propiedades