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Formalismo de Lagrange

Publicado por Martín

Todos conocemos las 3 famosas leyes de Newton (1642-1727): sobre ellas se basó la física mecánica durante mucho tiempo. Ésta manera de concebir la mecánica está regida principalmente por su carácter vectorial y la segunda ley de Newton: . Pero como todo método, también tiene sus inconvenientes. Resolver un problema mediante “Newton” puede llegar a ser extremadamente difícil en sistemas complejos, como por ejemplo péndulos suspendidos sobre cuerpos en movimiento, partículas sometidas a moverse sobre superficies cónicas, etc… Obviamente estos problemas también pueden ser resueltos por el método de Newton (no vamos a quitarle méritos), pero nos llevaría a integrales de extrema complejidad.
Aquí es donde aparece Joseph-Louis de Lagrange (1805-1865). Italiano de nacimiento pasó gran parte de su vida arraigado en Francia, considerándosele aún hoy en día por éstos, como compatriota suyo a pesar de lo que digan los demás. Todo lo que vamos a tratar está recogido en su obra Mecanique Anlitique.
Lagrange
Su formalismo se basa en las ligaduras, en la ausencia del carácter vectorial y en la simpleza en los cálculos. Pasamos ahora a un estudio más exhaustivo, pero directo, de su formalismo:

a.gif

-Ligaduras: condición que se impone a un sistema limitando el movimiento de éste.
Ejemplos:
Partícula en una circunferencia:a1.gif
Partículas en el plano: z=0

Habiendo definido las ligaduras llegamos al concepto de coordenadas independientes:

Las coordenadas independientes o generalizadas ( qj ) son aquellas que su valor no depende de ninguna otra coordenada en el plano y desde las cuales describiremos el movimiento a estudiar. Ejemplo:
En un péndulo simple podemos tomar como coordenada generalizada el ángulo θ respecto a la horizontal.
De la misma manera que hablamos de coordenadas generalizadas podemos hablar de fuerzas generalizadas ( Qj ) y velocidades ( a6.gif) o aceleraciones generalizadas ( a7.gif).
En cada caso podemos establecer el número de coordenadas independientes como:
nº coordenadas independientes = nº coordenadas- nº ligaduras

Ahora definiremos una función muy importante a lo largo de la física: la Lagrangiana.

L=T-V siendo T la energía cinética y V la energía potencial

Definida la Lagrangiana podemos ver como hallar las ecuaciones de movimiento de esta manera:

a8.gif

Cabe decir que ésta ecuación es sólo válida para sistemas conservativos (E=cnte=T+V), que aunque son minoría en la naturaleza son los más estudiados.
Vemos que la ventaja de este método estriba en la ausencia del carácter vectorial, y en la simpleza tanto matemática como formal de conseguir las ecuaciones que rigen el movimiento. La mayor dificultad será pues elegir las coordenadas con las que vamos a trabajar (cartesianas, cilíndricas, esféricas…) Los pasos a seguir serán:
• Elección coordenadas
• Elección coordenadas generalizadas
• Deducción de ligaduras
• Hallar la T ( a9.gif) y V para construir la L
• Derivar L para hallar las ecuaciones de movimiento
• Resolver las ecuaciones de movimiento (si se estima necesario)

En siguientes artículos podremos ver la ampliación de este método por Hamilton, o el principio de Hamilton, por el cuál se rigen todos los fenómenos en la naturaleza.

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