A cada estado de un sistema físico le asignaremos un elemento de un espacio virtual complejo H (espacio de Hilbert), de dimensión N. Normalmente N tiende a infinito.
Esto será de ayuda ya que conocemos como funcionan los espacios vectoriales. Llamaremos a cada elemento “ket” y lo representaremos por . Denotaremos un espacio dual H* formado por los mismo elementos de H, pero conjugados, llamados “bra” .

Definimos el producto escalar como: = un nº complejo

Definimos observable como toda magnitud que se puede medir, y las representaremos mediante operadores. Por ejemplo siendo el operador A:

Si llamaremos a a (nº) autovalor de A y alfa autofunción o autovector del operador A.

El conjunto se llamará espectro. Si ocurre que 2 o mas autoestados tienen el mismo autovalor se dice que el operador tiene espectro degenerado. Por ejemplo:

degeneración de orden 2

Se define operador adjunto: A*, siendo el correspondiente de A en el espacio dual. Si A=A* A se llama hermético.

Los autovalores de los operadores herméticos son reales.

Los autovalores de un operador son ortogonales, es decir:

Por construcción H está generado por el conjunto de autovectores, es decir el conjunto de autovectores es una base. De esta manera podemos representar cualquier otro elemento como combinación lineal de estos elementos:

Se define conmutador de 2 operadores como . Esta igualdad no tiene porque ser cierta, lo será sólo en el caso de que el conmutador sea igual a 0. Si el conmutador es igual a 0, A y B tienen los mismos autovectores, es decir tienen una base común.

Se define el valor medio de un operador como: . El error cometido en el valor medio se llama dispersión de un operador y se calcula como
Cuando una magnitud física viene representada por un operador, el resultado de una medida de esa magnitud sólo puede ser un autovalor del operador correspondiente.

-Gases reales
Cuando se compara el comportamiento de un gas real con el previsto por la ecuación de Clapeyron se observan en general, grandes discrepancias. Esto significa que la ecuación de Clapeyron no es la más adecuada para describir satisfactoriamente el comportamiento de los gases reales. Por esta razón, el estudio de los gases reales hace uso de cualquiera de los tres métodos alternativos siguientes:
• Se modifica la ecuación de Clapeyron de manera tal que refleje la realidad, es decir, el hecho de que un gas real es un sistema de partículas interaccionantes que poseen un volumen propio. Éste es el origen de las diversas ecuaciones térmicas de los gases reales.
• Se introduce en la ecuación de Clapeyron un facto, llamado de crompesibilidad que pone de manifiesto las discrepancias entre los resultados previstos por ella y los experimentales.
• Se define una nueva magnitud, la fugacidad, que desempeña en el estudio de los gases reales idéntico papel al de la presión en el estudio de los gases ideales.
De los 3 métodos alternativos, trataré sólo los 2 primeros.

-Ecuaciones térmicas de estado de los gases reales
Se han propuesto muchas ecuaciones que describen las relaciones p-v-T de los gases reales más exactamente que la ecuación de un estado de gas ideal. Alguna de estas ecuaciones son puramente empíricas, en tanto que otras se deducen de hipótesis sobre las propiedades moleculares. Entre las más utilizadas figuran las siguientes:

• Ecuación de van der Waals:
• Ecuación de Clausius:
• Ecuación de Berthelot:
• Ecuación de Dieterici:
• Ecuación del virial:
Evidentemente cualquiera de las ecuaciones anteriores puede proporcionarnos la siguiente información:
• Coeficientes térmicos de un gas real
• Coordenadas del punto crítico

-Ecuaciones térmicas de estado en forma reducida
La mayor parte de las ecuaciones térmicas de estado propuestas para explicar el comportamiento de un gas real son de la forma:
Donde a, b y c son parámetros característicos del gas. Ahora bien, si en la ecuación anterior expresamos los citados parámetros en función de las coordenadas críticas, entonces la ecuación anterior se transforma en:
Y si finalmente, utilizamos las coordenadas críticas como unidades de presión, volumen y tª, definiendo coordenadas reducidas
la ecuación adopta la forma
Es interesante observar que en esta ecuación ha desaparecido la impronta peculiar de cada gas reflejada, bien a través de los parámetros característicos o bien a través de las coordenadas críticas. En otras palabras, todos los gases que obedecen a la misma ecuación térmica de estado poseen una misma ecuación reducida. En este sentido se dice que la última ecuación tiene un carácter universal.
Se deduce igualmente que si las cantidades equimoleculares de dos gases cualesquiera se encuentran a igual presión reducida y ocupan el mismo volumen reducido, deberán encontrarse a la misma tª reducida (ley de los estados correspondientes).

-Ecuaciones de estado energética y térmicas de un sistema
La formulación del segundo postulado o principio cero de la termodinámica pone de manifiesto el hecho de que el estado termodinámico de un sistema queda determinado, no solamente por sus parámetros externos, sino también por la tª. Ésto significa que los parámetros internos , de un sistema en equilibrio termodinámico son funciones de los parámetros externos y de la temperatura T o tita , es decir, i=1,2,….. (1)

Expresión que constituye la formulación matemática del segundo postulado de la termodinámica.
Por definición, las n ecuaciones (1) para las cuales el parámetro interno coincide con la fuerza generalizada A , asociada al parámetro externo , reciben el nombre de ecuaciones térmicas de estado del sistema en cuestión. Matemáticamente se expresan así: i=1,2,…. (2)
Asimismo, aquella ecuación de entre las (1) para la cual el parámetro interno considerado sea precisamente la energía del sistema, U, recibe el nombre de ecuación energética de estado: (3)
Obviamente, para un sistema simple, las n+1 ecuaciones (2) y (3) se reducen solamente a dos: y
En cualquier caso, la forma analítica de las ecuaciones energética y térmica de estado depende del sistema considerado y su deducción puede realizarse, bien por vía experimental, bien por vía teórica , utilizando métodos propios de la teoría cinética y de la mecánica estadística.
El conocimiento de estas ecuaciones es fundamental para realizar el estudio termodinámico de un sistema ya que, a partir de ellas, pueden obtenerse todas las propiedades termodinámicas del mismo. Ahora bien, parte de la información que puede dispensar la ecuación energética de estado necesita la colaboración del primer principio de la termodinámica.

-Ecuación térmica de estado del gas ideal
Experimentalmente se encuentra que, a bajas presiones, la razón pv/T tiene el mismo valor, R, para todos los gases. Es conveniente postular entonces un gas ideal para el cual, por definición, la citada razón coincida con el valor límite que toma para los gases reales, a cualquier presión y tª. Así: pv=RT donde R es la llamada constante universal de los gases cuyo valor es R=8,3148E3 J/KmolxK
La ecuación recibe el nombre de ecuación térmica de estado del gas ideal o ecuación de Clapeyron.

Entendemos por oscilador lineal el sistema en que una partícula se desplaza de su posición en una sola coordenada. Véase por ejemplo un muelle, un péndulo, etc…

Para estudiarlos desarrollamos un potencial cualquiera V en una serie de Taylor:

Moviendo l origen de potenciales hacemos cero el primer término y el segundo se hace cero por definición ya que es una posición de equilibrio. De esa manera obtenemos que y sabiendo que obtenemos la ley de Hook:

Ahora según el número de fuerzas que actúan sobre nuestra partícula podremos distinguir distintos tipos de osciladores:

-oscilador armónico simple:

Fuerzas: F=-kx

Por la segunda ley de Newton obtenemos la ecuación de movimiento:

haciendo obtenemos .
La solución de esta ecuación se puede escribir como:

Se trate de un sistema conservativo, por lo tanto T+V=cnte donde y

-oscilador amortiguado

Fuerzas: F=-kx y la fuerza de rozamiento F=-bv

Será la ecuación de movimiento por tanto y haciendo obtendremos que

Resolviendo debemos distinguir 3 casos:
• Inframortiguado:
Se define y la solución de la ecuación es

• Amortiguamiento crítico:

• Sobreamortiguado:
Se define y la solución de la ecuación es

En todos los casos la amplitud decae con el tiempo de forma exponencial.

-Oscilaciones forzadas

Fuerzas: F=-kx ; F=-bv ; Y la fuerza que aplicamos nosotros al oscilador que puede ser de cualquier tipo, por ejemplo F=fcoswt

La ecuación de movimiento será
La solución de esta ecuación no es tan trivial como las anteriores pero omitiré su resolución. Esta solución es:
La primera parte de la solución representa los efectos transitorios, ya que a medida que avanza el tiempo este término se hace nulo. El segundo término representa los efectos transitorios.

Para que se produzca resonancia en amplitud (amplitud máxima) la frecuencia ha de ser . Para que halla resonancia en energía cinética

-Focos y planos focales:

F y F´: Foco objeto y foco imagen respectivamente. El aumento angular es infinito en F´y cero en F.
Plano focal objeto: Perpendicular al eje y que pasa por F
Plano focal imagen: perpendicular al eje y que pasa por F´

El plano focal imagen es la imagen del plano del infinito y el plano del infinito es la imagen del plano focal objeto. F y F´ no son conjugados.
Todo haz que tenga su origen en un punto Q del plano focal objeto sale del sistema en forma de haz paralelo hacia infinito.
Todo haz paralelo que entre al sistema, sale del sistema concurriendo hacia un punto Q´ del plano focal imagen.
Si en el plano focal ubicamos una fuente puntual de luz, el sistema transforma los haces de rayos divergentes de la fuente en haces paralelos al eje.

Planos y puntos principales:

Planos principales: son dos planos conjugados (uno imagen del otro), normales al eje con aumento lateral B= +1.
Puntos principales: son los puntos de intersección de los planos principales con el eje óptico.
Todo haz de rayos que incida en el sistema partiendo de un punto P del plano principal objeto, emerge pasando por el punto conjugado P´ del plano principal imagen, que está a la misma distancia del eje al mismo lado que P.

-Focal y potencia de un sistema
Distancia focal imagen: f ´ =H´F´
Distancia focal objeto: f =HF

-Potencia
La potencia es la recíproca de la focal reducida (distancia focal dividida por el índice de refracción del medio correspondiente).

Potencia objeto: P=n/f
Potencia imagen: P´=n´/f´
Si la focal se expresa en m, la potencia se expresa en dioptrías (dp).
Cuando el sistema está sumergido en aire la potencia es la recíproca de la focal.

-Puntos nodales: son dos puntos conjugados en el eje, N y N´ para los cuales el aumento angular vale 1. Si n=n` los puntos nodales coinciden con los puntos principales. En una lente delgada coinciden entre sí y el que pasa por el centro óptico no se desvía.

Tomando como origen los planos principales los sistemas se clasifican en:

-Sistemas convergentes: los rayos que inciden paralelos aleje óptico, convergen en el foco imagen. En estos sistemas el foco imagen es real y la distancia focal imagen positiva. El foco objeto es real y la distancia focal objeto negativa.
-Sistemas divergentes: los rayos que inciden paralelos al eje óptico, divergen, convergiendo sus prolongaciones en sentido contrario a la propagación de la luz en el foco imagen. En estos sistemas el foco imagen es virtual y la distancia focal imagen negativa. El foco objeto es virtual u la distancia focal objeto positiva.
-Sistema compuesto: formado por sistemas en cascada, de los cuales se conocen los focos y puntos principales.